теорема пифагора

Кратко: Теорема Пифагора

• В прямоугольном треугольнике with катетами a и b и гипотенузой c выполняется: c^2 = a^2 + b^2.
• Обратное утверждение: если в треугольнике стороны a, b, c удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2, то угол напротив стороны c прямой.

Короткие доказательства (один-два варианта)

• Координатное доказательство: возьмём треугольник с вершинами (0,0), (a,0), (0,b). Гипотенуза — расстояние между (a,0) и (0,b): c^2 = a^2 + b^2.
• Доказательство через высоту: в прямоугольном треугольнике опустим высоту h к гипотенузе, тогда образуются два подобных треугольника. Получаем a^2 = c·d и b^2 = c·e, где d+e = c. Складывая: a^2 + b^2 = c(d+e) = c^2.
• Евклидово доказательство: на каждом из трёх квадратов одинаковой площади можно разложить составные фигуры так, чтобы сумма площадей квадратов на катетах равнялась площади квадрата на гипотенузе.

Примеры

• 3, 4, 5: 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
• Пример задачи: если катеты 6 и 8, то гипотенуза c = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(100) = 10.

Связанные идеи

• Расстояние между двумя точками на плоскости: sqrt((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2).
• Закон косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(C). При C = 90° cos(C) = 0, получаем теорему Пифагора.
• Параметризация целочисленных Пифагоровых троек: a = m^2 − n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2 (m > n, целые).

Хотите подобрать задачи для тренировки или разобрать конкретную часть (доказательство, применения, или конверт)?