Найди объем Ox y=√x x-3y+2=0

Задача: найти объем тела, полученного вращением области между y = √x и x − 3y + 2 = 0 вокруг оси Ox. 1) Найдем точки пересечения и границы области - Преобразуем вторую кривую: x − 3y + 2 = 0 → y = (x + 2)/3. - Пересечение y = √x и y = (x+2)/3: √x = (x+2)/3. Пусть t = √x (t ≥ 0). Тогда t = √x и t^2 − 3t + 2 = 0 → (t − 1)(t − 2) = 0. Значит t = 1 or 2, hence x = t^2 = 1 или 4. Соответственно y = 1 и y = 2. - Область ограничена по x от 1 до 4. На этом отрезке верхняя ветка: y_top = √x, нижняя ветка: y_bot = (x+2)/3. 2) Объем при вращении вокруг оси Ox (метод дисков/тонкостей) - Радиусы диска в сечении при фиксированном x: R(x) = y_top = √x, r(x) = y_bot = (x+2)/3. - Площадь поперечного сечения: π[R(x)^2 − r(x)^2] = π[x − (x+2)^2/9]. - Границы интегрирования: x ∈ [1, 4]. - Объем: V = ∫_{1}^{4} π[x − (x+2)^2/9] dx = (π/9) ∫_{1}^{4} [−x^2 + 5x − 4] dx. Вычислим интеграл: - ∫(−x^2 + 5x − 4) dx = −x^3/3 + (5/2)x^2 − 4x. - Значения: F(4) = −64/3 + 40 − 16 = 8/3, F(1) = −1/3 + 5/2 − 4 = −11/6. - Разность: F(4) − F(1) = 8/3 − (−11/6) = 9/2. Тогда V = (π/9) · (9/2) = π/2. Ответ: V = π/2. Дополнительная проверка (метод цилиндрических оболочек, по горизонтальным слоям): - При y ∈ [1, 2] левая и правая границы дают x_left = y^2, x_right = 3y − 2. - Длина слоя: L(y) = (3y − 2) − y^2. - Радиус оболочки: r = y. - Объем: V = ∫_{1}^{2} 2π y L(y) dy = 2π ∫_{1}^{2} y(3y − 2 − y^2) dy, что даёт также V = π/2. Итог: объем V равен π/2 (единицы^3).