Задача решается для среднего школьного уровня. Пусть AB и CD пересекаются в точке O, причём O является серединой отрезка AB, и дана равенство углов ∠OAD = ∠OBC.
а) Доказательство, что треугольники CBO и DAO равны по площади ASA/AA
OA = OB, так как O — середина AB.
∠CBO = ∠OBC (это одно и то же угловое измерение на точке B; углы записывают по-разному, но имеют одну и ту же конфигурацию сторон BC и BO). По условию дано ∠OAD = ∠OBC; следовательно ∠CBO = ∠OAD (переименование угла на стороне A в треугольнике DAO дает тот же угол).
∠COB = ∠DOA. OC и OD лежат на одной прямой CD, OB и OA лежат на одной прямой AB. Поэтому угол между OC и OB равен углу между OD и OA (это равенство углов между двумя линиями, не зависящее от направления лучей).
Имеем два треугольника CBO и DAO, у которых соответствующие углы ∠CBO и ∠OAD равны, ∠COB и ∠DOA равны, и стороны между этими углами BO и AO равны (BO = AO). Следовательно, треугольники CBO и DAO равны по признаком ASA.
Из соответствия верха можно записать:
- BC соответствует AD;
- CO соответствует DO;
- OB соответствует AO.
Следовательно, BC = AD и CO = DO.
б) Найдём BC и CO, если CD = 26 см, AD = 15 см
Из вывода пункта (а) следует BC = AD = 15 см.
Также CO = DO и CD = CO + DO = 2·CO, значит CO = CD/2 = 26/2 = 13 см.
Ответ:
Дополнительно можно заметить, что из равенства CO = DO следует, что O является серединой отрезка CD (выполняется автоматически из congruent-отрезков).
