Обозначим сторону основания a = 4 см. Пусть база лежит в плоскости z = 0, центр основания — O(0,0,0), вершина пирамиды P(0,0,h). Пусть точки основания: A(-2,-2,0), B(2,-2,0).
Латеральная грань PAB лежит в плоскости, нормаль к ней можно найти как векторное произведение AB × AP:
- AB = B − A = (4, 0, 0)
- AP = P − A = (2, 2, h)
- n = AB × AP = (0, −4h, 8)
База лежит в плоскости z = 0, её нормаль n0 = (0, 0, 1).
Угол между двумя плоскостями (диэдральный угол вдоль ребра AB) равен углу между их нормалями. Поэтому:
cos φ = (n · n0) / (|n| |n0|) = 8 / |n|.
|n| = sqrt((0)^2 + (−4h)^2 + 8^2) = 4 sqrt(h^2 + 4).
Тогда cos φ = 8 / [4 sqrt(h^2 + 4)] = 2 / sqrt(h^2 + 4).
Дано φ = 60°, значит cos φ = 1/2. Получаем:
1/2 = 2 / sqrt(h^2 + 4) => sqrt(h^2 + 4) = 4 => h^2 + 4 = 16 => h = 2√3.
Объем V пирамиды:
V = (1/3) * S основание * h = (1/3) * a^2 * h = (1/3) * 16 * 2√3 = 32√3 / 3 см³.
Ответ: V = 32√3 / 3 см³ (примерно 18.47 см³).
