(4-х)(х²+х-20) ≥ 0

Задача: решить неравенство (4 − x)(x^2 + x − 20) ≥ 0.

Пошаговое решение

1. Разложим квадратный тройной множитель на множители: x^2 + x − 20 = (x − 4)(x + 5).

   Тогда неравенство становится (4 − x)(x − 4)(x + 5) ≥ 0.

2. Заметим, что (4 − x) = −(x − 4). Поэтому (4 − x)(x − 4)(x + 5) = −(x − 4)^2 (x + 5).

   Здесь (x − 4)^2 ≥ 0 и равно 0 только при x = 4. Остальные множители зависят от x.

3. Анализ знаков:

   • Если x ≠ 4, то (x − 4)^2 > 0, и знак произведения определяется знаком (−1) · (x + 5). Чтобы выражение было ≥ 0, нужно, чтобы (x + 5) ≤ 0, то есть x ≤ −5. При x = −5 получаем 0, при меньших x выполняется неравенство.

   • Если x = 4, то (x − 4)^2 = 0, следовательно весь множитель равен 0, неравенство выполняется.

4. Итог: Решение: x ≤ −5 или x = 4. Объединение даёт множества: (−∞, −5] ∪ {4}.

Проверка на примерах:

• x = −6: (4 − (−6)) > 0, (−6)^2 − 6 − 20 = 10 > 0 → произведение положительно.
• x = 0: (4 − 0) > 0, 0^2 + 0 − 20 = −20 < 0 → произведение отрицательно.
• x = 5: (4 − 5) < 0, 25 + 5 − 20 = 10 > 0 → произведение отрицательно.
• x = 4: произведение равно 0.

Ответ: (−∞, −5] ∪ {4}.