х-х²<0

Задача: решить неравенство x − x^2 < 0 для вещественных x.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем выражение: x − x^2 = x(1 − x).

   неравенство становится x(1 − x) < 0.

2. Найдём нули факторов: x = 0 и 1 − x = 0 → x = 1. Эти точки делят числовую ось на три интервала: (-∞, 0), (0, 1), (1, ∞).

3. Проверим знак произведения на каждом интервале:

   • Для x < 0: x < 0, 1 − x > 1 > 0 → произведение x(1 − x) < 0. Условие выполнено.
   • Для 0 < x < 1: x > 0, 1 − x > 0 → произведение > 0. Не выполняется.
   • Для x > 1: x > 0, 1 − x < 0 → произведение < 0. Условие выполнено.

4. Вывод: Неравенство выполняется на x < 0 и на x > 1. Точки x = 0 и x = 1 не включаются, так как неравенство строгое.

Ответ в виде интервального представления: (-∞, 0) ∪ (1, ∞)

Дополнительно (вариант подхода):

• Можно записать через квадрат: x − x^2 = −(x − 1/2)^2 + 1/4. Тогда неравенство −(x − 1/2)^2 + 1/4 < 0 → (x − 1/2)^2 > 1/4 → |x − 1/2| > 1/2 → x < 0 или x > 1.