решить пораболу с y=3x²+7x-6

Задача: проанализировать параболу y = 3x^2 + 7x - 6 и найти её ключевые характеристики.

Пошаговое решение и объяснения:

1. Найдём корни (пересечения с осью Ox)

• Для уравнения ax^2 + bx + c = 0 дискриминант D = b^2 - 4ac. Здесь a = 3, b = 7, c = -6. D = 7^2 - 4·3·(-6) = 49 + 72 = 121.
• Корни: x = (-b ± √D) / (2a) = (-7 ± 11) / 6. x1 = (-7 + 11) / 6 = 4/6 = 2/3 x2 = (-7 - 11) / 6 = -18/6 = -3
• Значит точки пересечения параболы с осью Ox: x = -3 и x = 2/3. Значения y на этих точках равны 0.

2. Найдём вершину и каноническую форму

• Координата вершины по формуле h = -b/(2a) = -7/(2·3) = -7/6.
• Значение вершины k = f(h) = 3h^2 + 7h - 6. h = -7/6; h^2 = 49/36. f(h) = 3·(49/36) + 7·(-7/6) - 6 = 49/12 - 49/6 - 6 = 49/12 - 98/12 - 72/12 = -121/12.
• Таким образом каноническая форма: y = 3(x - h)^2 + k = 3(x + 7/6)^2 - 121/12.
• Можно проверить: при разложении обратно получаем 3x^2 + 7x - 6.

3. Ось симметрии

• Так как коэффициент a > 0, парабола открывается вверх, и её ось симметрии имеет уравнение x = h = -7/6.

4. Краткие характеристики параболы

• Открытие: вверх (a = 3 > 0).
• Координаты вершины: V( -7/6, -121/12 ) примерно (-1.1667, -10.0833).
• Пересечения с осями:
  • Ox: x = -3 и x = 2/3 (уточнены выше).
  • Oy: при x = 0, y = -6, т.е. точка (0, -6).
• Область значений: так как вершина минимальная и парабола вверх, y ≥ -121/12 (приблизительно y ≥ -10.0833).
• Каноническую форму можно записать как y = 3(x + 7/6)^2 - 121/12.

Краткое резюме:

• Разложение на множители: 3x^2 + 7x - 6 = (3x - 2)(x + 3).
• Корни: x = -3 и x = 2/3.
• Вершина: (-7/6, -121/12).
• Ось симметрии: x = -7/6.
• Каноническая форма: y = 3(x + 7/6)^2 - 121/12.
• Область значений: y ≥ -121/12.