В равнобедренном треугольнике углы относятся как 1:2. Найдите углы треугольника. Рассмотрите все возможные случаи

Задача: в равнобедренном треугольнике углы относятся как 1:2. Найдите углы треугольника. Рассмотрите все возможные случаи.

Ход решения

• Пусть треугольник ABC с равными сторонами AB = AC. Тогда углы при B и C равны: B = C = α, апекс-угол A = β.
• Сумма углов треугольника: α + α + β = 180°, то есть 2α + β = 180.
• Углы в треугольнике не равны, иначе ratio был бы 1:1. Два различных значения углов должны быть в отношении 1:2. Значит среди чисел α и β их отношение либо α:β = 2:1, либо α:β = 1:2. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: α:β = 2:1

• Тогда α = 2t, β = t.
• Подстановка в 2α + β = 180°: 2(2t) + t = 5t = 180° → t = 36°.
• Получаем α = 72°, β = 36°.
• Углы треугольника: 72°, 72°, 36°.

Случай 2: α:β = 1:2

• Тогда α = t, β = 2t.
• Подстановка: 2α + β = 180° → 2t + 2t = 4t = 180° → t = 45°.
• Получаем α = 45°, β = 90°.
• Углы треугольника: 45°, 45°, 90°.

Итоги

• Первый вариант: углы 36°, 72°, 72° (основанные углы равны и больше апекса).
• Второй вариант: углы 90°, 45°, 45° (равнобедренный прямоугольный треугольник).

Это оба возможных случая, которые удовлетворяют условию, что два угла равны и отношения между двумя различными значениями углов равны 1:2.