докажите что углы при основании равнобедренного треугольника острые

Доказательство: углы при основаниях равнобедренного треугольника острые

Пусть треугольник ABC равнобедрен с обеими сторонами AB = AC. Основание — BC. В таком треугольнике углы при основаниях равны: ∠B = ∠C. Обозначим их как α.

1. Угол при вершине A и сумма углов треугольника

• Сумма углов треугольника равна 180°. Значит: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• Так как ∠B = ∠C = α, получаем: ∠A + α + α = 180°.
• Следовательно: ∠A = 180° − 2α.

2. Ограничение площади угла A

• В любом невырожденном треугольнике все interior углы положительны: ∠A > 0.
• Значит 180° − 2α > 0, откуда 2α < 180°, а следовательно α < 90°.

3. Вывод

• Угол ∠B и угол ∠C равны α и оба удовлетворяют α < 90°. Значит оба эти угла острые.

Дополнительная интуитивная иллюстрация (по желанию): можно провести высоту AD к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота AD является также биссектрисой и медианой основания, поэтому треугольники ABD и ACD — прямоугольные и их острые углы при B и C равны соответственно ∠B и ∠C, которые в любом треугольнике с суммой углов 180° оказываются меньше 90°. Это подтверждает вывод.

Итого: углы при основаниях равнобедренного треугольника острые.