в треугольнике ABC медиана BM, в четыре раза меньше стороны AB, и образует с ней угол 60°. Найдите угол ABC.

Задача: в треугольнике ABC медиана BM, причем BM в 4 раза меньше стороны AB, и BM образует с AB угол 60°. Найти угол ∠ABC.

Пояснение шаг за шагом

• Пусть BM = x, AB = 4x (BM в 4 раза меньше AB). Упростим, взяв x = 1 и AB = 4. Придём к тем же углам независимо от масштаба.

• Вводим систему координат:

  • B = (0, 0)
  • Пусть AB лежит по оси x вправо, тогда A = (4, 0)
  • Угол между AB и BM равен 60°, а длина BM = 1, поэтому направление BM образует угол 60° с осью x. Следовательно, M = (cos 60°, sin 60°) = (1/2, √3/2)

• Так как M — середина AC (M — середина стороны AC как медиана BM), выполняем свойство середины:

  • M = (A + C)/2, значит C = 2M − A
  • C = 2*(1/2, √3/2) − (4, 0) = (1, √3) − (4, 0) = (−3, √3)

• Теперь найдём угол ∠ABC. Векторы из вершины B:

  • BA = A − B = (4, 0)
  • BC = C − B = (−3, √3)

• Косинус угла между BA и BC:

  • BA · BC = (4, 0) · (−3, √3) = −12
  • |BA| = 4, |BC| = √[(−3)^2 + (√3)^2] = √(9 + 3) = √12 = 2√3
  • cos ∠ABC = (BA · BC) / (|BA|·|BC|) = (−12) / (4 · 2√3) = −3/(2√3) = −√3/2

• Отсюда ∠ABC = arccos(−√3/2) = 150°.

Проверка (наглядная проверка условия задачи):

• Угол между AB и BM: cos = (BA · BM) / (|BA||BM|) = (4,0) · (1/2, √3/2) / (4·1) = 2 / 4 = 1/2 → угол 60°, как дано.
• BM = 1, AB = 4, соотношение соблюдается.

Ответ: ∠ABC = 150°.