4. В параллелограмме ABCD угол между диагоналями угол AOB = 150 ⁰, AC = 6√3 см, BD = 6 см. Найдите меньшую сторону параллелограмма AD.

Задача: в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O. Угол AOB = 150°. Даны длины диагоналей AC = 6√3 см и BD = 6 см. Найдите меньшую сторону AD.

Обозначим:

• AB = a векторе, AD = d векторе.
• Тогда диагонали: AC = a + d, BD = d − a.
• Пусть |a|^2 = A, |d|^2 = D.

1. По длинам диагоналей:

• |AC|^2 = |a + d|^2 = A + D + 2(a·d) = (6√3)^2 = 108.
• |BD|^2 = |d − a|^2 = D + A − 2(a·d) = 6^2 = 36.

Слагая и вычитая эти два уравнения, получаем:

• Сумма: 2(A + D) = 108 + 36 = 144 → A + D = 72.
• Разность: 4(a·d) = 108 − 36 = 72 → a·d = 18.

2. Угол между диагоналями: AO = (a + d)/2, BO = (d − a)/2. Угол между AO и BO равен углу между диагоналями, следовательно cos(∠AOB) = ((a + d)·(d − a)) / (|a + d||d − a|) = (D − A) / (|AC||BD|).

Даны |AC| = 6√3, |BD| = 6, ∠AOB = 150°, поэтому cos 150° = −√3/2: −√3/2 = (D − A) / (6√3 · 6) = (D − A) / (36√3).

Отсюда D − A = −54.

3. Совместим полученные уравнения:

• A + D = 72
• D − A = −54

Решая систему, получаем:

• D = |AD|^2 = 9 → AD = 3 см.
• A = |AB|^2 = 63 → AB = √63 = 3√7 см.

Проверка: |AC|^2 = A + D + 2(a·d) = 63 + 9 + 2·18 = 108 → |AC| = 6√3; |BD|^2 = A + D − 2(a·d) = 63 + 9 − 36 = 36 → |BD| = 6; cos(∠AOB) = (D − A) / (|AC||BD|) = (9 − 63) / (6√3 · 6) = −54 / (36√3) = −√3/2, что соответствует 150°.

Ответ: меньшая сторона параллелограмма AD = 3 см.