Задача: в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O. Угол между диагоналями AOB = 150°. Длины диагоналей AC = 6√3 см, BD = 6 см. Найти меньшую сторону параллелограмма AD.
Обозначения и идеи
- Пусть AB = a, BC = b. Тогда AD = BC = b, AB = a.
- Угол между сторонами AB и BC обозначим как φ.
- Диагональ AC равна векторной сумме AB + BC, диагональ BD равна BC − AB.
Шаг 1. Связь угла между диагоналями с сторонами
Диагонали можно записать как:
- AC = AB + BC, поэтому |AC|^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos φ.
- BD = BC − AB, поэтому |BD|^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos φ.
Угол между диагоналями равен углу между векторами AC и BD. Выводим его через скалярное произведение:
AC · BD = (AB + BC) · (BC − AB) = |BC|^2 − |AB|^2 = b^2 − a^2.
Тогда cos∠AOB = cos 150° = (AC · BD) / (|AC||BD|) = (b^2 − a^2) / (AC · BD).
Из условий AC = 6√3, BD = 6, получаем AC·BD = (6√3)·6 = 36√3.
Косинус угла: cos 150° = −√3/2.
Следовательно:
(b^2 − a^2) / (36√3) = −√3/2 ⇒ b^2 − a^2 = −54 ⇒ a^2 − b^2 = 54. (1)
Шаг 2. Используем данные длин диагоналей
Из формул выше:
|AC|^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos φ = 108,
|BD|^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos φ = 36.
Сложим уравнения: 2(a^2 + b^2) = 144 ⇒ a^2 + b^2 = 72. (2)
Вычтем второе из первого: 4ab cos φ = 72 ⇒ ab cos φ = 18. (3)
Из (1) и (2) можно найти a^2 и b^2:
Системы:
a^2 − b^2 = 54,
a^2 + b^2 = 72.
Решая:
a^2 = (72 + 54)/2 = 63,
b^2 = (72 − 54)/2 = 9.
Тогда
a = √63 = 3√7, b = √9 = 3.
Шаг 3. Найти меньшую сторону
AD = BC = b = 3 см. Сравним с AB = a ≈ 7.94 см, поэтому AD — меньшая сторона.
Ответ: меньшая сторона параллелограмма AD равно 3 см.
Проверка (кратко)
cos φ = (18)/(ab) = 18/(3√7 · 3) = 2/√7, φ ≈ 40.9°, что совместимо с положительным косинусом и данными диагоналями. Всё согласуется.
