К описанной окружности треугольника ABC провели касательные в точках B и C. Они пересекаются в точке D. Найдите ∠ BDC, если ∠ BAC = 60∘

Ответ: ∠BDC = 60°.

Пошаговое решение:

• Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Точки B и C лежат на окружности, окружность касательная в точках B и C пересекаются в точке D.

• Свойство: радиус OB перпендикулярен касательной BD в точке B, а радиус OC перпендикулярен касательной CD в точке C. Hence ∠OBD = 90° и ∠OCD = 90°.

• Рассмотрим выпуклый многоугольник OB D C. Сумма его внутренних углов равна 360°. В нем углы при B и при C равны 90° соответственно: ∠OBD = 90° и ∠OCD = 90°. Поэтому ∠BDC + ∠BOC = 360° − (90° + 90°) = 180°, следовательно ∠BDC = 180° − ∠BOC.

• Теперь найдём ∠BOC. Угол ∠BAC – это вписанный угол, который опирается на дугу BC. Центральный угол ∠BOC, опирающийся на ту же дугу BC, равен двойному значению вписанного угла: ∠BOC = 2·∠BAC = 2·60° = 120°.

• Подставим в предыдущее соотношение: ∠BDC = 180° − 120° = 60°.

Дополнительно: в общем случае ∠BDC = 180° − ∠BOC = 180° − 2∠BAC. Для данного условия ∠BAC = 60° даёт ∠BDC = 60°.