реши неравенство x⁴=(4x-5)²
Это не неравенство, а уравнение: x^4 = (4x - 5)^2. Решим подробно.
Способ 1. Факторизация как разности квадратов
Перепишем как разность квадратов: x^4 - (4x - 5)^2 = 0 (x^2 - (4x - 5))(x^2 + (4x - 5)) = 0 что равносильно: (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x - 5) = 0
Решаем каждый квадратный фактор.
Первая скобка: x^2 - 4x + 5 = 0 D = (-4)^2 - 4·1·5 = 16 - 20 = -4 < 0 → действительных корней нет (Комплексные корни: x = 2 ± i)
Вторая скобка: x^2 + 4x - 5 = 0 D = 4^2 - 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36 x = (-4 ± 6)/2 → x = 1 или x = -5
- Проверка на соответствие исходному уравнению (по желанию). Подставим найденные значения:
- x = 1: 1^4 = 1, (4·1 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 ✓
- x = -5: (-5)^4 = 625, (4·(-5) - 5)^2 = (-25)^2 = 625 ✓
Итак, для действительных чисел решения: x ∈ { -5, 1 }. Если разрешены комплексные числа, то также корни x = 2 ± i из первой скобки.
Способ 2. Альтернативный подход через квадратный корень Из x^4 = (4x - 5)^2 получаем sqrt обеих сторон: x^2 = |4x - 5|
Рассматриваем два случая:
- Случай 1: 4x - 5 ≥ 0 (x ≥ 5/4). Тогда x^2 = 4x - 5 → x^2 - 4x + 5 = 0 → дискриминант = -4 < 0 → нет действительных корней.
- Случай 2: 4x - 5 < 0 (x < 5/4). Тогда x^2 = 5 - 4x → x^2 + 4x - 5 = 0 → корни x = 1 и x = -5, удовлетворяющие условию x < 5/4.
Совокупно: реальные решения те же: x = -5 и x = 1.
