Прямая CX проходит через вершину прямоугольника XYZK и перпендикулярна его сторонам XY и XK. Докажите перпендикулярность плоскостей: CXY и XYZ.

Разберём задачу пошагово.

Обозначения:

• Плоскость прямоугольника XYZK — плоскость P (или плоскость XYZ).
• Плоскость CXY — плоскость Q.
• Прямая CX пересекает плоскость P в точке X и перпендикулярна обеим сторонам XY и XK прямоугольника.

Шаг 1. CX⊥XY и CX⊥XK, значит CX⊥P XY и XK — две непараллельные прямые, лежащие в плоскости P и пересекающиеся в X. Если прямая перпендикулярна двум неколлинеарным прямым, то она перпендикулярна всей плоскости, которую они порождают. Поэтому CX перпендикулярна плоскости P (CX⊥P).

Шаг 2. Плоскость Q = плоскость CXY образована двумя линиями: CX и XY Эта плоскость содержит CX и XY и, следовательно, является плоскостью, порождаемой этими двумя линиями.

Шаг 3. Поскольку CX⊥P и XY лежит в P, то Q ⟂ P Если одна из порождающих плоскость двух пересекающихся плоскостей линий перпендикулярна другой плоскости, а вторая порождающая лежит в этой плоскости, то полученная плоскость перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае CX⊥P и XY⊂P, и Q — это плоскость, порождаемая CX и XY. 따라서 Q перпендикулярна P.

Дополнительное обоснование (если нравится через нормали):

• Нормаль плоскости P обозначим n. Так как CX⊥P, то CX∥n.
• Нормаль плоскости Q равна n_Q = XY × CX.
• Так как CX∥n, то n_Q ∥ XY × n. Поскольку XY лежит в P, XY⊥n, значит XY × n — это вектор, лежащий в плоскости P и перпендикулярный n. То есть n_Q⊥n, следовательно плоскости Q и P перпендикулярны.

Вывод: плоскости CXY и XYZ перпендикулярны друг другу.