Разберём задачу пошагово.
Обозначения:
- Плоскость прямоугольника XYZK — плоскость P (или плоскость XYZ).
- Плоскость CXY — плоскость Q.
- Прямая CX пересекает плоскость P в точке X и перпендикулярна обеим сторонам XY и XK прямоугольника.
Шаг 1. CX⊥XY и CX⊥XK, значит CX⊥P
XY и XK — две непараллельные прямые, лежащие в плоскости P и пересекающиеся в X. Если прямая перпендикулярна двум неколлинеарным прямым, то она перпендикулярна всей плоскости, которую они порождают. Поэтому CX перпендикулярна плоскости P (CX⊥P).
Шаг 2. Плоскость Q = плоскость CXY образована двумя линиями: CX и XY
Эта плоскость содержит CX и XY и, следовательно, является плоскостью, порождаемой этими двумя линиями.
Шаг 3. Поскольку CX⊥P и XY лежит в P, то Q ⟂ P
Если одна из порождающих плоскость двух пересекающихся плоскостей линий перпендикулярна другой плоскости, а вторая порождающая лежит в этой плоскости, то полученная плоскость перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае CX⊥P и XY⊂P, и Q — это плоскость, порождаемая CX и XY. 따라서 Q перпендикулярна P.
Дополнительное обоснование (если нравится через нормали):
- Нормаль плоскости P обозначим n. Так как CX⊥P, то CX∥n.
- Нормаль плоскости Q равна n_Q = XY × CX.
- Так как CX∥n, то n_Q ∥ XY × n. Поскольку XY лежит в P, XY⊥n, значит XY × n — это вектор, лежащий в плоскости P и перпендикулярный n. То есть n_Q⊥n, следовательно плоскости Q и P перпендикулярны.
Вывод: плоскости CXY и XYZ перпендикулярны друг другу.
