В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон в точках Е, М и К. Известно, что периметр треугольника равен 36 и АМ = 6. Найти длину боковой стороны треугольника АВС.

В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность, касающаяся сторон в точках E, M и K. По условию известно, что периметр треугольника равен 36, а $AM = 6$. Так как окружность вписана в треугольник $ABC$ и касается его сторон в точках $E$, $M$ и $K$, то $AM = ME = MK$. Пусть длина боковой стороны $AB = x$, тогда $AC = x$ (по свойству равнобедренного треугольника). Исходя из этого, получаем: $AB + AC + BC = 36$ $x + x + BC = 36$ $2x + BC = 36$ Также, из равенства $AM = 6$, получаем $ME = MK = 6$. Теперь, будем рассматривать прямоугольный треугольник $AMC$. Из этого треугольника, мы можем найти длину $BC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 = AM^2 + MC^2$ $x^2 = 6^2 + BC^2$ $x^2 = 36 + BC^2$ Так как $x = AC$, мы можем заменить в равенстве $AC$ на $x$: $2x + BC = 36$ Подставляем $x^2 = 36 + BC^2$ вместо $x^2$: $2\sqrt{36 + BC^2} + BC = 36$ Решив данное уравнение, мы получим значение длины боковой стороны треугольника $ABC$.