Построить гиперболу в 1 и 3 координатных четвертях

Задача: построить гиперболу, которая лежит в 1-й и 3-й координатных четвертях (то есть её ветви находятся в квадрантах I и III). Идея и пояснение - Гипербола с осями вдоль координатных осей обычно имеет ветви в квадрантах I и IV, и во II и III. Чтобы ветви оказались именно в I и III квадрантах, удобнее выбрать гиперболу, чьи асимптоты совпадают с координатными осями. Одно из простых уравнений такого типа: xy = c, где c > 0. - Почему так: для любой точки (x, y) на кривой xy = c выполняются x·y = c > 0, значит x и y имеют одинаковий знак. Следовательно точки лежат либо в I четверти (x > 0, y > 0), либо в III четверти (x < 0, y < 0). Это и есть нужная конфигурация. Пошаговое решение (с объяснениями) 1) Выбор параметра - Возьмём положительную константу c > 0. Например, c = 4. Уравнение будет xy = 4. - Любой другой положительный c даст эквивалентную по форме гиперболу, просто «растянуто» по осям. 2) Запись уравнения - Уравнение гиперболы: xy = c. В нашем примере: xy = 4. 3) Свойства гиперболы - Центр гиперболы: точка пересечения асимптот, т.е. центр в начале координат (0,0). - Асимптоты: координатные оси x = 0 и y = 0. - Ветви: одна ветвь лежит в квадранте I (x > 0, y > 0), другая — в квадранте III (x < 0, y < 0). - Поскольку y = c/x, ветви бесконечно расходятся к oсям, но никогда не пересекают их. 4) Построение графика (пример с c = 4) - Подберите несколько точек, удовлетворяющих xy = 4: - x = 1 → y = 4 - x = 2 → y = 2 - x = 4 → y = 1 - Для квадранта III: x = -1 → y = -4, x = -2 → y = -2, x = -4 → y = -1 - Нарисуйте оси, отметьте найденные точки и проведите плавную кривую через точки так, чтобы она состояла из двух ветвей, расходящихся к асимптотам x = 0 и y = 0. - Ветви будут располагаться в I и III квадрантах и симметричны относительно начала координат (поскольку xy = c сохраняет знак после замены x → −x, y → −y). 5) Как проверить правильность - Любая точка на кривой удовлетворяет y = c/x. При x > 0 получаем y > 0 (квадрант I), при x < 0 получаем y < 0 (квадрант III). - Асимптоты действительно совпадают с осями x = 0 и y = 0: при больших |x| и |y| значение y стремится к c/x, что близко к 0 вдоль оси y, и наоборот. 6) Альтернативный взгляд (если хочется увидеть связь с обычной гиперболой) - Можно показать, что при замене координат на 45 градусов: - Пусть X = (x + y)/√2, Y = (x − y)/√2. Тогда xy = (X^2 − Y^2)/2. - Поэтому уравнение xy = c эквивалентно X^2 − Y^2 = 2c, т.е. обычная гипербола в rotated-координатах. А асимптоты в исходных координатах — это оси x и y. Итоговый вывод - Чтобы гипербола располагалась в I и III четвертях, достаточно задать уравнение xy = c с положительным c. Это образует две ветви: одна в I, другая в III квадрантах, с асимптотами вдоль осей. - Пример для практики: xy = 4. Можно взять любые другие положительные c и повторить построение. Если хочешь, могу подобрать другой пример (например, с другим значением c или дать готовый набор точек для быстрой отрисовки на вашей сетке) или показать, как получить такое уравнение из стандартной гиперболы через поворот координат.