построить гиперболу в 1 и 3 координатных четвертях

Задача: построить гиперболу, которая лежит в 1-й и 3-й координатных четвертях (то есть её ветви находятся в квадрантах I и III).

Идея и пояснение

• Гипербола с осями вдоль координатных осей обычно имеет ветви в квадрантах I и IV, и во II и III. Чтобы ветви оказались именно в I и III квадрантах, удобнее выбрать гиперболу, чьи асимптоты совпадают с координатными осями. Одно из простых уравнений такого типа: xy = c, где c > 0.
• Почему так: для любой точки (x, y) на кривой xy = c выполняются x·y = c > 0, значит x и y имеют одинаковий знак. Следовательно точки лежат либо в I четверти (x > 0, y > 0), либо в III четверти (x < 0, y < 0). Это и есть нужная конфигурация.

Пошаговое решение (с объяснениями)

1. Выбор параметра

• Возьмём положительную константу c > 0. Например, c = 4. Уравнение будет xy = 4.
• Любой другой положительный c даст эквивалентную по форме гиперболу, просто «растянуто» по осям.

2. Запись уравнения

• Уравнение гиперболы: xy = c. В нашем примере: xy = 4.

3. Свойства гиперболы

• Центр гиперболы: точка пересечения асимптот, т.е. центр в начале координат (0,0).
• Асимптоты: координатные оси x = 0 и y = 0.
• Ветви: одна ветвь лежит в квадранте I (x > 0, y > 0), другая — в квадранте III (x < 0, y < 0).
• Поскольку y = c/x, ветви бесконечно расходятся к oсям, но никогда не пересекают их.

4. Построение графика (пример с c = 4)

• Подберите несколько точек, удовлетворяющих xy = 4:
  • x = 1 → y = 4
  • x = 2 → y = 2
  • x = 4 → y = 1
  • Для квадранта III: x = -1 → y = -4, x = -2 → y = -2, x = -4 → y = -1
• Нарисуйте оси, отметьте найденные точки и проведите плавную кривую через точки так, чтобы она состояла из двух ветвей, расходящихся к асимптотам x = 0 и y = 0.
• Ветви будут располагаться в I и III квадрантах и симметричны относительно начала координат (поскольку xy = c сохраняет знак после замены x → −x, y → −y).

5. Как проверить правильность

• Любая точка на кривой удовлетворяет y = c/x. При x > 0 получаем y > 0 (квадрант I), при x < 0 получаем y < 0 (квадрант III).
• Асимптоты действительно совпадают с осями x = 0 и y = 0: при больших |x| и |y| значение y стремится к c/x, что близко к 0 вдоль оси y, и наоборот.

6. Альтернативный взгляд (если хочется увидеть связь с обычной гиперболой)

• Можно показать, что при замене координат на 45 градусов:
  • Пусть X = (x + y)/√2, Y = (x − y)/√2. Тогда xy = (X^2 − Y^2)/2.
  • Поэтому уравнение xy = c эквивалентно X^2 − Y^2 = 2c, т.е. обычная гипербола в rotated-координатах. А асимптоты в исходных координатах — это оси x и y.

Итоговый вывод

• Чтобы гипербола располагалась в I и III четвертях, достаточно задать уравнение xy = c с положительным c. Это образует две ветви: одна в I, другая в III квадрантах, с асимптотами вдоль осей.
• Пример для практики: xy = 4. Можно взять любые другие положительные c и повторить построение.

Если хочешь, могу подобрать другой пример (например, с другим значением c или дать готовый набор точек для быстрой отрисовки на вашей сетке) или показать, как получить такое уравнение из стандартной гиперболы через поворот координат.