2. На стороне CD параллелограмма АBCD отмечена точка Е. Прямые АE и ВС пересекаются в точке F. АE = 8 см, ED = 6 см, CE = 3 см. Найдите EF.

Дано: параллелограмм ABCD, точка E на стороне CD такая, что CE = 3 см, ED = 6 см (то есть CD = 9 см). Прямые AE и BC пересекаются в точке F. AE = 8 см. Найти EF. Пошаговое решение (векторно-аналитический подход, подходит для средней школы): 1) Введём векторы - A — начало координат. - AB = v, AD = w. Тогда B = v, D = w, C = v + w. Сторона CD направлена противоположно AB, её вектор равен D − C = w − (v + w) = −v, и |CD| = |v| = 9 см. Это значит, что v — единичное направление вдоль CD и его длина 9. 2) Координата точки E на CD E лежит на CD и CE:ED = 3:6 = 1:2, значит E находится на CD на 1/3 пути от C к D. E = C + (CE/CD) (D − C) = (v + w) + (1/3)(−v) = (2/3) v + w. 3) Уравнения прямых AE и BC - Прямая AE: любая точка на AE имеет вид s·E (так как A — начало координат, E — точка на AE, и при s = 1 получаем E). - Прямая BC: любая точка на BC имеет вид B + t(C − B) = v + t w. Пересечение AE и BC дает: s E = v + t w. Подставим E = (2/3) v + w: s[(2/3) v + w] = v + t w. Разделим по векторам v и w (они линейно независимы): - по v: (2/3) s = 1 ⇒ s = 3/2 - по w: s = t ⇒ t = 3/2 Так что F соответствует параметру s = 3/2 на отрезке AE (то есть F лежит за E на продолжении AE). 4) Найдём EF На одной прямой EF = AF − AE. Так как AF соответствует параметру s = 3/2, а AE — это момент s = 1, имеем: AF = (3/2) · AE, значит EF = AF − AE = (3/2 − 1) · AE = (1/2) · AE. Так как AE = 8 см, получаем: EF = (1/2) · 8 = 4 см. Ответ: EF = 4 см.