Задача: доказать, что середины сторон ромба образуют вершины прямоугольника.
Обозначения и предположения:
- Пусть ABCD — ромб: AB ∥ CD, BC ∥ AD и AB = BC = CD = DA.
- Пусть E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. То есть E — середина AB, F — середина BC, G — середина CD, H — середина DA.
- Нужно доказать, что EFGH — это прямоугольник.
Шаг 1. EFGH образует параллелограмм
- В треугольнике ABC точка E — середина AB, точка F — середина BC. Следовательно, EF ∥ AC (отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне).
- В треугольнике BCD точки F и G — середины BC и CD. Значит, FG ∥ BD.
- Аналогично можно показать, что GH ∥ AC и HE ∥ BD.
- Следовательно, противоположные стороны EFGH параллельны друг другу: EF ∥ GH и FG ∥ EH. Значит, EFGH — параллелограмм.
Шаг 2. В ромбе диагонали AC и BD перпендикулярны
- Обозначим векторы AB = u и BC = v. Тогда длины |u| = |v| удовлетворяют условию ромба.
- Диагонали ромба: AC = AB + BC = u + v и BD = BC − AB = v − u.
- Их скалярное произведение: (u + v) · (v − u) = |v|^2 − |u|^2 = 0, потому что |u| = |v|.
- Значит, AC ⟂ BD.
Шаг 3. Доказательство, что EFGH — прямоугольник
- Из шага 1: EF ∥ AC и FG ∥ BD.
- Из шага 2: AC ⟂ BD, значит EF ⟂ FG.
- Поскольку EFGH — параллелограмм и один угол (угол EFG) равен 90°, все углы прямые. Значит, EFGH — прямоугольник.
Итак, середины сторон ромба образуют вершин прямоугольника.
