Докажи что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратное
Доказательство обеих направлений в треугольнике ABC, обозначим стороны так:
- a = BC против угла A,
- b = CA против угла B,
- c = AB против угла C.
- Если a > b, то A > B.
По т. косинусов:
- cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc),
- cos B = (a^2 + c^2 − b^2) / (2ac).
Положим разность: cos A − cos B = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) − (a^2 + c^2 − b^2)/(2ac) = (b − a) [ (a + b)^2 − c^2 ] / (2abc).
Заметим, что из треугольного неравенства a + b > c, следовательно (a + b)^2 > c^2, то есть скобка положительна. Так как a > b, то b − a < 0, поэтому cos A − cos B < 0, то есть cos A < cos B.
К тому же в любом треугольнике A, B ∈ (0, π), а функция косинуса строго убывающая на этом промежутке. Значит A > B. Это и требовалось.
- Обратное: если A > B, то a > b.
Из пункта 1 получаем эквивалентность: cos A < cos B тогда и только тогда, когда a > b, потому что cos A − cos B = (b − a) [ (a + b)^2 − c^2 ] / (2abc), а [ (a + b)^2 − c^2 ] > 0 и 2abc > 0. Значит cos A < cos B эквивалентно b − a < 0, то есть a > b.
Итого: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
