В трапеции ABCD с основаниями AD = 10 см и BC = 6 см проведены диагонали. На диагонали АС отмечена точка К так, что СК : КА = 1 : 3. Через точку К проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает сторону CD в точке М, а диагональ BD - в точке N. Найдите длину отрезка NK.

Где основание AD = 10 см, BC = 6 см. Пусть - A = (0, 0), D = (10, 0); - B = (x, h), C = (x + 6, h) (BC = 6, высота h > 0). 1) Точка K на диагонали AC с отношением CK:KA = 1:3. - Пусть AC вектор: C − A = (x + 6, h). - Путь от A до K составляет часть 3/4 от AC, т.к. CK:KA = 1:3 ⇒ KA = 3/4 AC. - Следовательно, K = A + (3/4)(C − A) = ( (3/4)(x + 6), (3/4)h ). 2) Прямая через K, параллельная основаниям AD и BC, имеет уравнение y = (3/4)h. - Эта же прямая пересекает BD в точке N. 3) Найдём N как пересечение BD с y = (3/4)h. - BD: от B(x, h) к D(10, 0). Параметризация: P(s) = B + s(D − B) = (x + s(10 − x), h(1 − s)). - Координа y: h(1 − s) = (3/4)h ⇒ 1 − s = 3/4 ⇒ s = 1/4. - Тогда x-координата точки N: x_N = x + (1/4)(10 − x) = (3x + 10)/4. 4) NK — горизонтальная на этой же прямой разность координат: - x_K = (3/4)(x + 6) = (3x + 18)/4. - x_N − x_K = [(3x + 10) − (3x + 18)]/4 = (−8)/4 = −2. - Значит NK = |x_N − x_K| = 2 см. Ответ: NK = 2 см.