В группе 25 студентов. Из них: 1) 12 студентов занимаются искусством (множество A). 2) 10 студентов участвуют в научных проектах (множество B). 3) 8 студентов занимаются спортом…
В группе 25 студентов. Из них: 1) 12 студентов занимаются искусством (множество A). 2) 10 студентов участвуют в научных проектах (множество B). 3) 8 студентов занимаются спортом (множество C). Известно также, что: 1) 4 студента одновременно занимаются искусством и участвуют в научных проектах. 2) 3 студента одновременно занимаются спортом и участвуют в научных проектах. 3) 2 студента одновременно занимаются искусством и спортом. 4) 1 студент занимается всеми тремя видами деятельности. Сколько студентов не занимаются ни искусством, ни научными проектами, ни спортом?"
Дано:
- Всего студентов: 25
- A = занимаются искусством: |A| = 12
- B = участвуют в научных проектах: |B| = 10
- C = занимаются спортом: |C| = 8
- A ∩ B = 4
- B ∩ C = 3
- A ∩ C = 2
- A ∩ B ∩ C = 1
Нужно найти количество студентов, не входящих ни в одну из множеств A, B, C.
- Применим формулу включения-исключения для трёх множеств: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Подставим данные: |A ∪ B ∪ C| = 12 + 10 + 8 − 4 − 2 − 3 + 1 = 30 − 9 + 1 = 22
Ответ внутри объединения (те, кто занят чем-либо из трёх видов деятельности) — 22 студента.
- Студентов, не занимающихся ни одним из трёх видов деятельности, будет: 25 − 22 = 3 студента.
Дополнительная проверка (регионы внутри объединения):
- ABC (все три): 1
- AB без C: |A ∩ B| − |ABC| = 4 − 1 = 3
- AC без B: |A ∩ C| − |ABC| = 2 − 1 = 1
- BC без A: |B ∩ C| − |ABC| = 3 − 1 = 2
- A только: |A| − (AB без C + AC без B + ABC) = 12 − (3 + 1 + 1) = 7
- B только: |B| − (AB без C + BC без A + ABC) = 10 − (3 + 2 + 1) = 4
- C только: |C| − (AC без B + BC без A + ABC) = 8 − (1 + 2 + 1) = 4
Сумма внутри объединения: 7 + 4 + 4 + 3 + 1 + 2 + 1 = 22, что согласуется с выше полученным.
Итак, количество студентов, не занимающихся ни искусством, ни научными проектами, ни спортом: 3.
