Корень из 5

Задача: корень из 5 означает √5. Что это такое - √5 — число, которое, возведённое в квадрат, даёт 5. То есть (√5)² = 5. - Это иррациональное число: его нельзя записать как точную дробь p/q (радиальная формула доказательства есть, но здесь достаточно знать, что дроби не дадут точного 5). Пошаговое решение и объяснение 1) Определение диапазона - 2² = 4 и 3² = 9, а 4 < 5 < 9. - Значит, √5 находится между 2 и 3: √5 ∈ (2, 3). 2) Пример численного приближения ( Newton–Raphson) Чтобы получить десятичное значение, используем метод Ньютона для уравнения f(x) = x² − 5 = 0. - Начальное приближение: x0 = 2 (логично, так как √5 в (2,3)). - Формула итерации: x_{n+1} = (x_n + 5/x_n) / 2. Выполним несколько шагов: - x1 = (2 + 5/2) / 2 = (2 + 2.5) / 2 = 4.5 / 2 = 2.25 - x2 = (2.25 + 5/2.25) / 2 ≈ (2.25 + 2.222222…) / 2 ≈ 4.472222… / 2 ≈ 2.236111… - x3 = (2.236111… + 5/2.236111…) / 2 ≈ (2.236111… + 2.236068…) / 2 ≈ 4.472179… / 2 ≈ 2.2360679 После нескольких итераций значение сходится к √5. 3) Уточнённое значение - Точное значение: √5. - Приближённо: √5 ≈ 2.2360679775 (и ещё далее можно продолжить по требованию по точности). 4) Проверка - Квадрат полученного приближения: 2.2360679² ≈ 5.0000000 (очевидно очень близко к 5). Итого - Точное выражение: √5. - Численно: √5 ≈ 2.2360679775. - Связанные свойства: √5 — иррационально, между 2 и 3.