\int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + x^4 \right) dx реши мне

Задача: ∫ (1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4) dx

Решение пошагово:

1. Разделим интеграл на сумму более простых: ∫ (1/x) dx + ∫ 1/√(1 - x^2) dx + ∫ x^4 dx.

2. Найдём каждый из них отдельно.

• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
• ∫ dx / √(1 - x^2) = arcsin(x) + C. Обоснование: производная arcsin(x) равна 1/√(1 - x^2). Можно увидеть это также через подстановку x = sin t.
• ∫ x^4 dx = x^5/5 + C.

3. Сложим результаты: ∫ (1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4) dx = ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 + C.

Замечания по области определения:

• Исходный интеграл содержит 1/x и 1/√(1 - x^2). Это требует x ≠ 0 и |x| < 1 (чтобы под корнем не было отрицательного числа). Следовательно, наибольшие интервалы подходящие для этой неопределённости: (-1, 0) и (0, 1).
• Полученная антидериватва ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 корректна на этих интервалах.

Проверка (быстрая проверка дифференцирования): d/dx [ln|x|] = 1/x, d/dx [arcsin(x)] = 1/√(1 - x^2), d/dx [x^5/5] = x^4. Сумма даёт исходный интеграл, значит результат верен.

Ответ: ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 + C, для x в (−1, 0) или (0, 1).