Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой

Дано: любой треугольник ABC имеет три угла A, B, C such that A + B + C = 180°.

Цель: доказать, что либо все углы острые (A < 90°, B < 90°, C < 90°), либо два угла острые, а третий тупой или прямой (то есть один угол ≥ 90°).

Пошаговое доказательство:

1. Воспользуемся свойством треугольника: сумма его углов равна 180°. Обозначим углы как A, B, C, где A = ∠A, B = ∠B, C = ∠C.

2. Рассмотрим два варианта по характеристикам углов.

   • Вариант 1. Все углы острые. Если A < 90°, B < 90°, C < 90°, то условие выполнено: в треугольнике все углы острые.

   • Вариант 2. Не все углы острые. Тогда хотя бы один угол не меньше 90°. Пусть без ограничения общности A ≥ 90°. Тогда B + C = 180° − A ≤ 90°.

     • Если A > 90°, то B + C < 90°. Поскольку B > 0 и C > 0, это значит, что каждый из углов B и C меньше 90°, то есть B и C — острые.

     • Если A = 90°, то B + C = 90°. При этом B > 0 и C > 0, значит каждый из них строго меньше 90°, т.е. B и C — острые.

   В любом случае, если один угол A ≥ 90°, остальные два угла B и C оказываются острыми.

3. Следствие: в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые и третий тупой или прямой. Нельзя получить ситуацию с двумя тупыми углами (их сумма была бы больше 180°), поэтому альтернативы, описанные в пункте 2, исчерпывают все возможности.

Итого, доказано: в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.