в окружности с центром в точке о вписан равносторонний треугольник, расстояние от точки о до сторон треугольника равна корень3 / 2 найдите сторону треугольника

Задача по геометрии (класс 9):

Дано: в окружности с центром O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно √3/2. Найти сторону треугольника.

Пояснения и решение:

• В равностороннем треугольнике центр окружности (O) совпадает с центром вписанной окружности и является одновременно центром масс/вписания. Расстояние от центра до любой стороны — это радиус вписанной окружности, то есть инradius r треугольника.
• Обозначим сторону треугольника за a. В равностороннем треугольнике инradius выражается так: r = a√3 / 6. (Можно получить из площади: площадь S = (√3/4)a^2, полупериметр p = 3a/2, и S = pr → r = S/p = (√3/4)a^2 ÷ (3a/2) = (√3/6)a.)
• В задаче дано r = √3/2. Подставим и найдём a: √3/2 = a√3/6 → умножаем на 6/√3: a = 6/√3 · (√3/2) = 6/2 = 3.
• Проверка: r = a√3/6 = 3√3/6 = √3/2, что совпадает с данным.

Ответ: сторона треугольника равна 3 единиц.