Найди площадь треугольника 𝑀 𝑁 𝐾 MNK , в котором ∠ 𝑀 = 45 ° ∠M=45° , из точки 𝑁 N проведена высота 𝑁 𝑄 NQ , при этом 𝑀 𝑄 = 5 MQ=5 мм, 𝑄 𝐾 = 8 QK=8 мм

Решение:

• Задано: треугольник MNK, угол при M равен 45°. На отрезке MK отложена высота NQ, Q лежит на MK, MQ = 5 мм, QK = 8 мм. Значит MK = MQ + QK = 13 мм. Точка Q находится на MK на расстоянии 5 мм от M.

• Пусть MK лежит на оси x, с M в начале координат: M(0, 0), K(13, 0). Так как Q на MK на расстоянии 5 от M, Q(5, 0). Высота NQ перпендикулярна MK, значит N лежит на вертикальной прямой x = 5. Обозначим N(5, h), где h = NQ — высота треугольника.

• Угол ∠M между MN и MK равен 45°. Вектор MN = (5, h). Тангенс угла между MN и осью x равен h/5. Значит h/5 = tan 45° = 1 ⇒ h = 5.

• Следовательно, высота NQ = 5 мм. Площадь треугольника MNK: S = (1/2) · MK · NQ = (1/2) · 13 · 5 = 65/2 мм² = 32,5 мм².

Ответ: площадь треугольника MNK равна 32,5 мм² (или 65/2 мм²).