Задача имеет смысл, если трактовать условие как: плоские углы APB, BPC и CPA образуют прямые углы (то есть PA ⟂ PB, PB ⟂ PC, PC ⟂ PA). Тогда точки A, B, C и P образуют три взаимно перпендикулярные векторы из одной точки P.
Пусть a, b, c — векторы от P к A, B, C соответственно. Тогда |a| = PA = 10, |b| = PB = 14, |c| = PC = 20 и a ⟂ b, b ⟂ c, c ⟂ a.
Площадь основания ABC можно выразить через векторы AB и AC:
- AB = b − a, AC = c − a.
- AB · AC = |a|^2 (это следует из взаимной перпендикулярности: (b − a) · (c − a) = b·c − b·a − a·c + a·a = 0 − 0 − 0 + |a|^2 = |a|^2).
- |AB|^2 = |b − a|^2 = |a|^2 + |b|^2, то же для |AC|^2 = |a|^2 + |c|^2.
Площадь треугольника ABC равна
S^2 = [|AB|^2 |AC|^2 − (AB · AC)^2] / 4.
Подставим:
|AB|^2 |AC|^2 − (AB · AC)^2 = (a^2 + b^2)(a^2 + c^2) − a^4 = a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2.
И, следовательно,
S = 1/2 sqrt(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2).
Теперь подставим данные: a = PA = 10, b = PB = 14, c = PC = 20.
- a^2 b^2 = 10^2 · 14^2 = 100 · 196 = 19600
- a^2 c^2 = 10^2 · 20^2 = 100 · 400 = 40000
- b^2 c^2 = 14^2 · 20^2 = 196 · 400 = 78400
Сумма = 19600 + 40000 + 78400 = 138000.
S = 1/2 sqrt(138000) = 1/2 · 20 sqrt(345) = 10 sqrt(345) см².
Округленно: S ≈ 185.7 см².
Итог: площадь основания ABC равна 10√345 см² (примерно 185.7 см²).
Примечание: если трактовать условие как «плоские углы при P являются прямыми» в смысле 180°, задача становится неразрешимой в обычной трёхмерной геометрии для невырожденного тетраэдра — такая конфигурация приводит к вырождению пространства (площадь основания могла бы быть нулевой). Поэтому наиболее разумное толкование — углы APB, BPC, CPA равны 90°.
