Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 45 градусов. Докажите что основание треугольника больше 1/2 через Обычные базовые теоремы сравнения…

Задача: равнобедренный треугольник AB = AC = 1, угол между ними ∠A = 45°. Нужно доказать, что основание BC > 1/2, используя обычные базовые теоремы.

Решение (через теорему косинусов)

• Обозначим вершины так: AB = AC = 1, ∠A = ∠BAC = 45°, основание BC.
• По теореме косинусов для стороны BC имеем: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2·AB·AC·cos∠A.
• Подставляем значения: BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2·1·1·cos 45° = 2 - 2·cos 45°.
• Так как cos 45° = √2/2, получаем: BC^2 = 2 - √2.
• Чтобы оценить BC, удобно ограничить √2 снизу/сверху. Заметим, что √2 < 3/2, поскольку 2 < (3/2)^2 = 9/4. Следовательно BC^2 > 2 - 3/2 = 1/2.
• Следовательно BC > √(1/2) = 1/√2 > 1/2. Таким образом, BC больше 1/2.

Комментарий

• Можно также увидеть, что BC = sqrt(2 - √2) ≈ 0.765, что подтверждает полученный вывод BC > 1/2. Но доказательство через теорему косинусов и несложное неравенство √2 < 3/2 полностью достаточно.