Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD. Выберем систему координат так, чтобы плоскость BCD была плоскостью z = 0 и B, C, D образовывали равносторонний треугольник:
- B = (0, 0, 0)
- C = (1, 0, 0)
- D = (1/2, √3/2, 0)
Поскольку тетраэдр правильный, все ребра равны. Пусть сторона равна 1, тогда расстояние AB = AC = AD = 1.
Точка A должна находиться над центроидом треугольника BCD. Центроид G трапеции BCD имеет координаты (1/2, √3/6, 0). Обозначим высоту A над плоскостью BCD как h. Тогда
AB^2 = (1/2)^2 + (√3/6)^2 + h^2 = 1/4 + 1/12 + h^2 = 1/3 + h^2 = 1,
откуда h^2 = 2/3 и A = (1/2, √3/6, √(2/3)).
Точка K — середина отрезка AC:
A = (1/2, √3/6, √(2/3)), C = (1, 0, 0),
K = ((1/2+1)/2, (√3/6+0)/2, (√(2/3)+0)/2) = (3/4, √3/12, √(6)/6).
Вектор BK = K − B = (3/4, √3/12, √6/6).
Плоскость BCD: z = 0, поэтому угол между BK и плоскостью равен углу между BK и её проекцией на плоскость BCD. Обозначим:
- проекция BK на плоскость BCD: p = (3/4, √3/12, 0),
- z-компонента BK: z = √6/6,
- длина проекции: |p| = sqrt((3/4)^2 + (√3/12)^2) = sqrt(9/16 + 3/144) = sqrt(28/48) = sqrt(7/12).
Тогда tan(угол) = |z| / |p| = (√6/6) / sqrt(7/12) = √(2/7).
Следовательно, угол между BK и плоскостью BCD равен
θ = arctan(√(2/7)).
Дополнительно можно записать sin θ = √2/3 и cos θ = √7/3, что даёт примерно θ ≈ 28.1°.
