Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М. y’=2+y^2; M(1,2)

Задача: дифференциальное уравнение y' = 2 + y^2. Построить интегральную кривую, проходящую через точку M(1, 2) методом изоклин.

1. Что такое изоклины здесь

• Функция ф(y) = 2 + y^2 задаёт наклон касательной в каждой точке: dy/dx = f(y).
• Изоклины для заданного наклона m — это множества точек, где dy/dx = m, то есть f(y) = m → 2 + y^2 = m.
• Поэтому изоклины имеют вид y = ±√(m − 2) (для m ≥ 2). Это горизонтальные прямые.
• В точке M наклон касательной равен m0 = f(2) = 2 + 4 = 6. Соответствующая изоклина — y = 2 (и параллельно ей — y = −2). Точка M лежит на изоклине y = 2, касательная в M имеет наклон 6.

2. Как построить интегральную кривую по изоклинам

• Так как dy/dx зависит только от y, интегральная кривая проходит через M и в любой точке имеет наклон m(y) = 2 + y^2.
• Рекомендуемый путь к явному решению через разделение переменных: dy/(y^2 + 2) = dx. Интегрируем: ∫ dy/(y^2 + 2) = ∫ dx. Левый интеграл даёт (1/√2) arctan(y/√2) = x + C.

3. Нормировка константы через условие M(1, 2)

• Подставим y = 2 и x = 1: (1/√2) arctan(2/√2) = 1 + C. arctan(2/√2) = arctan(√2). Таким образом C = (1/√2) arctan(√2) − 1.

4. Явное выражение интегральной кривой через M

• Получаем неявно: (1/√2) arctan(y/√2) = x + C. или arctan(y/√2) = √2 x + arctan(√2) − √2.
• Решаем относительно y: y = √2 tan(√2 x + arctan(√2) − √2).
• Удобно переписать как y(x) = √2 tan(√2 (x − 1) + arctan(√2)).

5. Свойства и область допустимости

• Это решение верно на интервале, на котором тангенс не имеет асимптот, т.е. между ближайшими точками вертикальных асимптот: √2(x − 1) + arctan(√2) ∈ (−π/2, π/2) для выбранной «ветви».
• Ближайшие асимптоты дают границы интервала: x ∈ (1 − (π/2 + arctan(√2))/√2, 1 + (π/2 − arctan(√2))/√2). численно примерно (-0.79, 1.44).
• При x = 1 кривая проходит через M и имеет касательную с наклоном y'(1) = 2 + 2^2 = 6, как и требуется.

6. Кратко резюме

• Интегральная кривая через M задаётся явной формой: y(x) = √2 tan(√2 (x − 1) + arctan(√2)).
• Она удовлетворяет начальному условию y(1) = 2 и уравнению dy/dx = 2 + y^2 в области её существования.