Теорема о геометрической прогрессии

Кратко о теореме о геометрической прогрессии (ГП) - Определение: последовательность a1, a2, a3,... называется геометрической, если существует коэффициент (отношение) r такой, что for все n: a_{n+1} = a_n · r. Тогда n-й член имеет вид: a_n = a1 · r^(n-1). - Основные формулы - n-й член: a_n = a1 · r^(n-1). - Сумма первых n членов S_n (если r ≠ 1): S_n = a1 · (1 − r^n) / (1 − r). - Сумма первых n членов для случая r = 1: S_n = n · a1. - Альтернативная формула суммы: S_n = (a_n − a1) / (r − 1) при r ≠ 1. - Свойства, которые часто используют: - Продукт симметрических членов фиксирован: a_k · a_{n−k+1} = a1 · a_n = a1^2 · r^(n−1) (для любой фиксированной n и любого k). - Каждый член, возведённый в квадрат, равен произведению соседних: a_k^2 = a_{k−1} · a_{k+1} (поскольку a_k = a1 · r^(k−1)). - Примеры применения - Нахождение n-го члена: зная a1 и r, просто подставляем: a_n = a1 · r^(n−1). - Нахождение суммы: если дано a1, r и n, используем S_n = a1(1 − r^n)/(1 − r) (для r ≠ 1). Если r = 1, S_n = n · a1. - Важные случаи - Когда r = 1: прогрессия состоит из повторяющихся одинаковых членов. - Когда r ≠ 1, но r может быть отрицательным. В этом случае знак членов чередуется. Пошаговые решения типичных задач (примерные но наглядные) Пример 1. Найдите 5-й член, если a1 = 3 и r = 2. - Решение: a5 = a1 · r^(5−1) = 3 · 2^4 = 3 · 16 = 48. Пример 2. Найдите сумму первых 4 членов, если a1 = 3 и r = 2. - Решение: S_4 = a1 · (1 − r^4) / (1 − r) = 3 · (1 − 16) / (1 − 2) = 3 · (−15) / (−1) = 45. Проверка по членам: 3 + 6 + 12 + 24 = 45. Пример 3. Найдите r, если a1 = 4 и a3 = 36. - Решение: a3 = a1 · r^(3−1) = 4 · r^2 = 36 → r^2 = 9 → r = 3 или r = −3. Пример 4. Свойство: доказать, что a_k^2 = a_{k−1} · a_{k+1} в любой ГП. - Доказательство: a_k = a1 · r^(k−1), a_{k−1} = a1 · r^(k−2), a_{k+1} = a1 · r^k. a_{k−1} · a_{k+1} = (a1 · r^(k−2)) · (a1 · r^k) = a1^2 · r^(2k−2). a_k^2 = (a1 · r^(k−1))^2 = a1^2 · r^(2k−2). Следовательно, a_k^2 = a_{k−1} · a_{k+1}. Пример 5. Найдите сумму первых 6 членов, если a1 = 2 и r = −1/2. - Решение: S_6 = a1 · (1 − r^6) / (1 − r) = 2 · (1 − (−1/2)^6) / (1 − (−1/2)). (−1/2)^6 = 1/64. Так что S_6 = 2 · (1 − 1/64) / (3/2) = 2 · (63/64) · (2/3) = (4/3) · (63/64) = 252/192 = 21/16 = 1.3125. Проверка по членам: 2, −1, 1/2, −1/4, 1/8, −1/16; сумма ≈ 1.3125 — совпадает. Как использовать теорему на практике - Определите тип задачи: нужна ли формула для n-го члена или суммы, учтите, равен ли r одному. - Если даёте a1 и r, сразу применяйте формулы выше. - Если дано несколько членов и нужно найти r, используйте связи через a_n = a1 · r^(n−1) и, при необходимости, возведение в степени. - Помните про особый случай r = 1 и про возможность отрицательного r. Если хочешь, пришли конкретную задачу по теореме о ГП (с указанием номера или текста), и я дам подробное пошаговое решение именно под неё.