Основания трапеции равны 15 см и 20 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину меньшего из них.

Задача решается в рамках школьной геометрии. Пусть основания трапеции равны a и c, где a = 15 см (меньшее основание) и c = 20 см (большее основание). Средняя линия EF параллельна основаниям и её длина равна (a + c)/2 = (15 + 20)/2 = 17.5 см.

Теперь рассмотрим диагональ AC и её пересечение со средней линией EF. Можно ввести координаты:

• Пусть нижнее основание CD лежит на оси y = 0: D = (0, 0), C = (c, 0) = (20, 0).
• Пусть верхнее основание AB имеет длину a = 15 и смещено на некоторое значение t по x: A = (t, h), B = (t + a, h).
• Средняя линия EF — середины AD и BC, она параллельна основаниям и имеет координаты E = (t/2, h/2) и F = ((t + a + c)/2, h/2).

Диагональ AC идёт от A(t, h) до C(c, 0). Её пересечение с EF происходит при y = h/2, то есть на середине пути по диагонали, значит s = 1/2. Тогда точка пересечения P имеет координаты: P = ((t + c)/2, h/2).

Длины участков на EF от E до P и от P до F:

• EP = xP − xE = (t + c)/2 − t/2 = c/2 = 20/2 = 10 см.
• PF = xF − xP = (t + a + c)/2 − (t + c)/2 = a/2 = 15/2 = 7.5 см.

Следовательно, диагональ делит среднюю линию на отрезки длиной 10 см и 7.5 см. Меньший из них равен 7.5 см.

Замечание: если взять диагональ BD, мы получим противоположный порядок (a/2 и c/2), но меньшая величина останется min(a, c)/2 = 7.5 см.

Ответ: 7.5 см.