X³+m⁶

Задача: x^3 + m^6 Пояснение и пошаговое решение 1) Заметим структуру выражения - m^6 можно записать как (m^2)^3, то есть m^6 = (m^2)^3. - Тогда выражение становится a^3 + b^3 с a = x и b = m^2. 2) Применим формулу суммы кубов - Формула: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). - Подставим a = x и b = m^2: a + b = x + m^2 a^2 - ab + b^2 = x^2 - x m^2 + m^4 Итого получаем факторизацию: x^3 + m^6 = (x + m^2)(x^2 - x m^2 + m^4) 3) Проверка умножением (по шагам) (x + m^2)(x^2 - x m^2 + m^4) = x·x^2 + x·(-x m^2) + x·m^4 + m^2·x^2 + m^2·(-x m^2) + m^2·m^4 = x^3 - x^2 m^2 + x m^4 + x^2 m^2 - x m^4 + m^6 = x^3 + m^6 (−x^2 m^2 и + x^2 m^2 сокращаются, а x m^4 и − x m^4 сокращаются) 4) Дополнительная заметка - Дискриминант квадратного множителя x^2 - x m^2 + m^4 равен Δ = (m^2)^2 - 4 m^4 = -3 m^4 ≤ 0. - Следовательно, над множеством действительных чисел для m ≠ 0 этот квадратник не раскладывается далее; факторизация выше является окончательной над целыми (и над действительными числами). При m = 0 выражение сводится к x^3 и факторизация становится (x)(x^2). Ответ: x^3 + m^6 = (x + m^2)(x^2 - x m^2 + m^4)