Дано: треугольник АВС ВС перпендикулярно АС, ЕС перпендикулярно МВ,О точка пересечения медиан треугольника АВС,МС=30, МЕ=20, Найти:ОМ

Ответ: 10

Пояснение:

• Так как BC ⟂ AC, треугольник ABC прямоугольный в C. M — середина гипотенузы AB.

• В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы находится на равном расстоянии от всех вершин: MC = MA = MB = AB/2.

• Дано MC = 30, значит AB = 2 · 30 = 60.

• Пусть C = (0,0), A = (a,0), B = (0,b). Тогда M = (a/2, b/2), O (центр масс) = ((a)/3, (b)/3).

• OM^2 = (a/2 − a/3)^2 + (b/2 − b/3)^2 = (a^2 + b^2)/36 = AB^2/36.

• Но AB = 60, поэтому OM^2 = 60^2/36 = 3600/36 = 100, следовательно OM = 10.

Замечание: данное условие ME = 20 согласуется с AB = 60, но для вычисления OM достаточно MC = 30.