Задача Задача №3596580
А
А
в арифметической прогрессии a¹+a⁵=5/3,a³a⁴=65\72 найдите сумму семнадцати первых членов прогрессии
Решение по шагам.
Дано: в арифметической прогрессии первые члены a1, a2, a3, ... с общим разностью d. Из условий:
- a1 + a5 = 5/3 => a1 + (a1 + 4d) = 5/3 → 2a1 + 4d = 5/3.
- a3 · a4 = 65/72, где a3 = a1 + 2d и a4 = a1 + 3d → (a1 + 2d)(a1 + 3d) = 65/72.
Из первого уравнения: 2a1 + 4d = 5/3 → a1 + 2d = 5/6. Значит a1 = 5/6 − 2d.
Во втором уравнении учитываем a1 + 2d = 5/6: (a1 + 2d)(a1 + 3d) = (5/6)(a1 + 3d) = 65/72. Отсюда a1 + 3d = (65/72) ÷ (5/6) = (65/72) × (6/5) = 13/12.
Теперь найдем d: d = (a1 + 3d) − (a1 + 2d) = 13/12 − 5/6 = 13/12 − 10/12 = 3/12 = 1/4.
Найдем a1: a1 = 5/6 − 2d = 5/6 − 2·(1/4) = 5/6 − 1/2 = 5/6 − 3/6 = 2/6 = 1/3.
Итак, первая часть прогрессии: a1 = 1/3, d = 1/4.
- Сумма первых 17 членов S17: S17 = 17/2 · [2a1 + (17−1)d] = 17/2 · [2·(1/3) + 16·(1/4)] = 17/2 · [2/3 + 4] = 17/2 · (14/3) = 119/3.
Ответ: 119/3.
