октября 2024 15:43 7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, известны длины рёбер: AB = 35, AD = 35, AA1 = 5√2. Найдите расстояние от точки А до прямой СА1. Ответ:

Решение (пошагово):

1. Задаём систему координат. Пусть A = (0,0,0), AB вдоль оси x (AB = 35), AD вдоль оси y (AD = 35), AA1 вдоль оси z (AA1 = 5√2).

• B = (35,0,0), D = (0,35,0), C = (35,35,0).
• A1 = (0,0,5√2).

2. Прямая CA1 задана точками C и A1. Направляющий вектор прямой: d = A1 − C = (0−35, 0−35, 5√2−0) = (−35, −35, 5√2).

3. Вектор от C к точке A: u = A − C = (0−35, 0−35, 0−0) = (−35, −35, 0).

4. Расстояние от точки A до прямой CA1 вычисляется по формуле: distance = |u × d| / |d|.

5. Найдём векторное произведение: u × d = (−35, −35, 0) × (−35, −35, 5√2) = (−175√2, 175√2, 0). Модуль этого векторного произведения: |u × d| = sqrt[ (−175√2)² + (175√2)² + 0² ] = sqrt(2·175²·2) = 350.

6. Длина направления d: |d| = sqrt[ (−35)² + (−35)² + (5√2)² ] = sqrt(1225 + 1225 + 50) = sqrt(2500) = 50.

7. Тогда расстояние: distance = 350 / 50 = 7.

Ответ: 7.