ах²+bx+c=y

Это квадратичная функция: y = a x^2 + b x + c, где a ≠ 0. Ниже пошагово понятно, что это значит и как работать с такой формой.

1. Основные характеристики квадратичной функции

• Вершина параболы: координаты h и k
  • h = -b/(2a) — координата вершины по оси x
  • k = c - b^2/(4a) — значение функции в вершине, то есть y-координата вершины
• Ось симметрии параболы: x = h
• Часть графика: парабола открывается вверх, если a > 0; вниз — если a < 0
• y-перехват: точка пересечения с осью y при x = 0 gives y = c, то есть (0, c)
• x-перехваты (корни): решаются уравнением a x^2 + b x + c = 0
  • Дискриминант Δ = b^2 - 4ac
  • Если Δ > 0: два различных корня x1 = (-b - sqrt(Δ)) / (2a) и x2 = (-b + sqrt(Δ)) / (2a)
  • Если Δ = 0: один двойной корень x = -b/(2a)
  • Если Δ < 0: действительных корней нет (корни комплексные)

2. Преобразование в удобную форму (производная от completing the square)

• Цель: записать y в виде y = a (x − h)^2 + k
• Начинаем с y = a x^2 + b x + c
• Добавляем и вычитаем нужную часть: y = a [x^2 + (b/a) x] + c
• Завершаем квадрат: x^2 + (b/a) x = (x + b/(2a))^2 − (b/(2a))^2
• Подстановка: y = a (x + b/(2a))^2 + c − a (b/(2a))^2 y = a (x − h)^2 + k, где h = −b/(2a), k = c − b^2/(4a)
• Это удобно для построения графика: вершина (h, k) и форма параболы с коэффициентами a, b, c.

3. Как использовать эти сведения на практике

• Чтобы нарисовать график:
  • Найдите вершину: h = −b/(2a), k = c − b^2/(4a)
  • Постройте ось симметрии x = h
  • Найдите y-перехват (0, c)
  • Найдите корни (если есть) через Δ = b^2 − 4ac
  • Соедините точки параболой, учитывая, что она открывается вверх при a > 0 и вниз при a < 0
• Чтобы решить уравнение по x для заданного y (найти x, когда известно y):
  • Подставляете y в уравнение: a x^2 + b x + (c − y) = 0
  • Корни найдёте по формуле: Δ_y = b^2 − 4a(c − y) = Δ + 4a y
  • x = [-b ± sqrt(Δ_y)] / (2a), при условии Δ_y ≥ 0

4. Небольшой числовой пример (для иллюстрации) Пусть a = 2, b = −3, c = 1. Тогда y = 2x^2 − 3x + 1.

• Вершина: h = −b/(2a) = −(−3)/(4) = 3/4 = 0.75 k = c − b^2/(4a) = 1 − (9)/(8) = 1 − 1.125 = −0.125 Вершина: (0.75, −0.125)
• Ось симметрии: x = 0.75
• y-перехват: при x = 0, y = c = 1 → точка (0, 1)
• Корни (Δ = b^2 − 4ac = 9 − 8 = 1 > 0) x1 = (−b − sqrt(Δ)) / (2a) = (3 − 1) / 4 = 0.5 x2 = (−b + sqrt(Δ)) / (2a) = (3 + 1) / 4 = 1 Корни: x = 0.5 и x = 1
• Форма параболы через вершину: y = a (x − h)^2 + k = 2 (x − 0.75)^2 − 0.125
• Факторизация: 2x^2 − 3x + 1 = 2(x − 0.5)(x − 1)

5. Важные моменты

• Если нужно просто выразить y через x, достаточно помнить формулу y = a (x − h)^2 + k или развёртку y = a x^2 + b x + c
• Если нужно найти x при заданном y, используйте дискриминант Δ_y = b^2 − 4a(c − y) и формулу x = (−b ± sqrt(Δ_y)) / (2a)
• Когда Δ < 0, реальных корней нет; график не пересекает ось x

Если хочешь, могу подобрать конкретные числа и пройти полный разбор по твоему заданию (например, подобрать a, b, c и построить график или решить уравнение для заданного y).