Найти КМ и КН отрезки касательных проведённых из точки К, О-центр окружности ОК=12 см угол МО 4=120`
Разберём задачу так, как она обычно формулируется на уроках геометрии.
Дано:
- О – центр окружности, радиус R = OM = ON (неизвестен);
- K – внешняя точка, из неё проведены касательные KM и KN к окружности, касательные касаются в M и N;
- OK = 12 см (расстояние от центра до точки K);
- ∠MON = 120° (центральный угол, подсвечивающий ನಿವную дугу MN).
Найдём угол между касательными Угол между двумя касательными из точки K равен 180° минус центральный угол между соответствующими радиусами: ∠MKN = 180° − ∠MON = 180° − 120° = 60°.
Связь KM, KN и MN Т.к. KM и KN — касательные из одной точки, они равны: KM = KN = a. По теореме косинусов для треугольника KMN с вершиной в K и углом ∠MKN = 60°: MN^2 = KM^2 + KN^2 − 2·KM·KN·cos(∠MKN) MN^2 = a^2 + a^2 − 2·a^2·cos 60° = 2a^2 − a^2 = a^2. Значит MN = a, то есть KM = KN = MN.
Выразим MN через радиус R Центральный угол MON равен 120°, поэтому длина хорды MN: MN = 2R·sin(∠MON/2) = 2R·sin 60° = 2R·(√3/2) = R√3.
Следовательно, KM = KN = MN = R√3.
Связь KM с OK и R В прямоугольном треугольнике KOM: OK^2 = OM^2 + KM^2 ⇒ 12^2 = R^2 + KM^2. Но KM = R√3, значит KM^2 = 3R^2. Получаем: 144 = R^2 + 3R^2 = 4R^2 ⇒ R^2 = 36 ⇒ R = 6 см.
Найдём длины KM и KN KM = KN = R√3 = 6·√3 см.
Итак:
- KM = KN = 6√3 см (примерно 10,39 см).
