Для покраски поверхности куба необходимо 580 мг краски. распиливая его на 15 равных частей (см. рисунок). Сколько понадобится краски, чтобы покрасить все непокрашенные грани полученных тел слоем такой же толщины?

Решение (на основе предположения о разрезе куба на 15 равных прямоугольных параллелепипедов по сетке 1×3×5; рисунок обычно показывает именно такой разрез). Идея: - Пуканая краска пропорциональна площади поверхности, поэтому масса краски, необходимая для покраски какой-либо поверхности, пропорциональна её площади. - После распила появляются внутренние поверхности — две стороны каждой внутренней плоскости распила. Пусть a, b, c — количество частей по трем направлениям, тогда a·b·c = 15. Для 1×3×5 имеем a=1, b=3, c=5. - Обозначим сторону куба как s. Тогда исходная площадь поверхности куба: A_orig = 6s^2. - Число и площадь внутренних распилов: Внутренние плоскости по оси x: (a−1) плоскостей, по оси y: (b−1), по оси z: (c−1). Каждая такая плоскость имеет площадь s^2, и каждая создаёт две faces (по одной на каждом соседнем куске). Итого внутренняя площадь C: C = 2s^2[(a−1) + (b−1) + (c−1)]. Для 1×3×5: (a−1)+(b−1)+(c−1) = 0 + 2 + 4 = 6, поэтому C = 2s^2·6 = 12s^2. - Фактически окрашиваются только внутренние поверхности, так как внешние поверхности исходно уже покрашены. - Масса краски для покраски всех внутренних поверхностей пропорциональна C. Пусть massUnit = 580 mg / (A_orig) — масса краски на единицу площади. Тогда требующаяся масса M: M = massUnit · C = 580 · (C / A_orig) = 580 · (12s^2) / (6s^2) = 580 · 2 = 1160 mg. Ответ: 1160 мг. Дополнитель пояснение: - В общем случае для разбиения куба на a×b×c равных частей (abс = 15) площадь, подлежащая окрашиванию, равна C = 2s^2[(a−1)+(b−1)+(c−1)], а исходная площадь — A_orig = 6s^2. Тогда масса краски равна M = 580 · [(a−1)+(b−1)+(c−1)]·2 / 6 = 580 · (a+b+c−3)/3. Для последовательности 1,3,5 это даёт M = 580 · (9−3)/3 = 580 · 2 = 1160 мг. Если разрез другой (например, 1×1×15), результат другой.