Для покраски поверхности куба необходимо 580 мг краски. распиливая его на 15 равных частей (см. рисунок). Сколько понадобится краски, чтобы покрасить все непокрашенные грани…

Решение (на основе предположения о разрезе куба на 15 равных прямоугольных параллелепипедов по сетке 1×3×5; рисунок обычно показывает именно такой разрез).

Идея:

• Пуканая краска пропорциональна площади поверхности, поэтому масса краски, необходимая для покраски какой-либо поверхности, пропорциональна её площади.
• После распила появляются внутренние поверхности — две стороны каждой внутренней плоскости распила. Пусть a, b, c — количество частей по трем направлениям, тогда a·b·c = 15. Для 1×3×5 имеем a=1, b=3, c=5.
• Обозначим сторону куба как s. Тогда исходная площадь поверхности куба: A_orig = 6s^2.
• Число и площадь внутренних распилов: Внутренние плоскости по оси x: (a−1) плоскостей, по оси y: (b−1), по оси z: (c−1). Каждая такая плоскость имеет площадь s^2, и каждая создаёт две faces (по одной на каждом соседнем куске). Итого внутренняя площадь C: C = 2s^2[(a−1) + (b−1) + (c−1)]. Для 1×3×5: (a−1)+(b−1)+(c−1) = 0 + 2 + 4 = 6, поэтому C = 2s^2·6 = 12s^2.
• Фактически окрашиваются только внутренние поверхности, так как внешние поверхности исходно уже покрашены.
• Масса краски для покраски всех внутренних поверхностей пропорциональна C. Пусть massUnit = 580 mg / (A_orig) — масса краски на единицу площади. Тогда требующаяся масса M: M = massUnit · C = 580 · (C / A_orig) = 580 · (12s^2) / (6s^2) = 580 · 2 = 1160 mg.

Ответ: 1160 мг.

Дополнитель пояснение:

• В общем случае для разбиения куба на a×b×c равных частей (abс = 15) площадь, подлежащая окрашиванию, равна C = 2s^2[(a−1)+(b−1)+(c−1)], а исходная площадь — A_orig = 6s^2. Тогда масса краски равна M = 580 · [(a−1)+(b−1)+(c−1)]·2 / 6 = 580 · (a+b+c−3)/3. Для последовательности 1,3,5 это даёт M = 580 · (9−3)/3 = 580 · 2 = 1160 мг. Если разрез другой (например, 1×1×15), результат другой.