в треугольнике АВС угол С равен 90°, CH - высота, АВ>45, sin A=2/3. найдите длину отрезка ВН
Задача: в треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота на сторону AB, AB > 45, sin A = 2/3. Найдите BH (отрезок от B до точки H — основания высоты на AB).
Пошаговое решение:
По заданной синусу угла A имеем sin A = BC / AB = 2/3. Значит BC = (2/3) · AB.
Свойство высоты, проведённой к гипотенузе в прямом треугольнике: точка H делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB, и каждый из них связан с противоположной стороной через HB = BC^2 / AB. (Обоснование можно привести через подобие треугольников: треугольники ABC и CHB или AHC подобны, что даёт выражения AH = AC^2/AB и HB = BC^2/AB.)
Подставим BC = (2/3) AB в формулу для HB: HB = BC^2 / AB = [((2/3) AB)^2] / AB = (4/9) AB.
Следовательно, BH = (4/9) · AB.
Из условия AB > 45 следует ограничение BH > (4/9) · 45 = 20. То есть BH больше 20, но точное число зависит от самого AB.
Итого:
- BH = (4/9) AB.
- При AB > 45 выполняется BH > 20.
- Чтобы получить конкретное числовое значение BH, нужно знать точное значение AB. Например, если AB = 60, то BH = (4/9)·60 = 26 2/3.
