2) На рисунке 2 AB = СД: ВC = АД, ZAFB = LСЕД = 90° Докажите, что BF - ЕД; AF = EC.

Задача (переформулированно): В параллелограмме ABCD выбрано такое F, что ∠AFB = 90°, и такое E, что ∠CED = 90°. Доказать, что BF = ED и AF = EC.

Пояснение и решение по шагам

• Шаг 1. Заметим, что AB = CD и BC = AD означают, что ABCD — параллелограмм. В нем диагонали AC и BD пересекаются в одной точке O и делят друг друга пополам.

• Шаг 2. Рассмотрим полувращение на 180 градусов (центральная симметрия) вокруг точки O. Эта симметрия обозначим как S.

  • Она отправляет A в C и B в D.
  • Она отправляет прямые AB в прямую CD.
  • Она сохраняет расстояния: для любых точек X, Y выполняется SXY = XY.

• Шаг 3. Так как ∠AFB = 90°, точка F лежит на окружности с диаметром AB (теорема Фалеса: угол AFB равен 90° тогда и только тогда, когда F принадлежит окружности с диаметром AB). Применяя симметрию S, точка E = S(F) принадлежит окружности с диаметром CD, поэтому ∠CED = 90° (угол, соответствующий ∠AFB, сохраняется при центральной симметрии).

• Шаг 4. Так как S сохраняет расстояния, получаем:

  • BF = D F' под действием S становится ED, если E = S(F). То есть BF = ED.
  • AF = C F' под действием S становится EC, если E = S(F). То есть AF = EC.

• Шаг 5. Вывод: для точки F на окружности с диаметром AB и соответствующей ей точки E = S(F) на окружности с диаметром CD выполняются BF = ED и AF = EC. В условии дано, что ∠AFB = ∠CED = 90°, что согласуется с тем, что E является образом F при центральной симметрии ABCD.

Итак, BF = ED и AF = EC следует из того, что ABCD — параллелограмм и F, E связаны центральной симметрией центра параллелограмма.