На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q))…
На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?
Задача информатики 11 класс. Разбираем пошагово.
Дано: P = [257, 1000], Q = [5, 100], R = [99, 258]. Формула: ((x ∉ A) ∨ (x ∈ R)) ∧ ((x ∉ A) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) должна быть тождественно истинна для любого x.
Когда x ∉ A: обе части дизьюнкций становятся истинными, значит весь Ф здесь истинный. Проблема возникает только если x ∈ A. Значит внимание сосредоточим на x ∈ A.
Для x ∈ A в формуле останутся: (x ∈ R) ∧ (x ∈ P ∪ Q). То есть любые x из A должны принадлежать R и одновременно P ∪ Q.
Следовательно, A должно быть подмножеством R ∩ (P ∪ Q).
Посчитаем:
- P ∪ Q = [5,100] ∪ [257,1000].
- R ∩ (P ∪ Q) = ([99,258] ∩ [5,100]) ∪ ([99,258] ∩ [257,1000]) = [99,100] ∪ [257,258].
Значит A ⊆ [99,100] ∪ [257,258].
А значит A, будучи отрезком (один непрерывный интервал), может лежать лишь внутри одного из этих двух маленьких отрезков. В любом случае допустимая длина A не превышает 1 (потому что каждый из кусочков [99,100] и [257,258] имеет длину 1).
Минимальная возможная длина отрезка A:
- если допускается вырожденный отрезок (одну точку), то можно взять A как точку внутри [99,100] или [257,258], и длина равна 0.
- если нужен непустой отрезок, то минимальная положительная длина не имеет фиксированного минимума (можно сделать A Очень маленьким внутри одного из двух отрезков).
Итак:
- Обязательно A ⊆ [99,100] или A ⊆ [257,258].
- Наименьшая возможная длина: 0 (можно выбрать A как точку, например A = {99} или A = [99,99]).
Пример допустимого выбора A: A = {99} (точка в intersection), тогда для любого x вне A формула истинна, а для x = 99 обе части становятся истинными, и тождество выполняется.
