На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?
Цель: понять и найти минимальную длину отрезка A, при котором дана формула тождественно истинна.
Начнем с логики:
- Пусть A обозначает отрезок на числовой прямой.
- Формула записана как: (x ∉ A) ∨ (x ∈ R) и (x ∉ A) ∨ (x ∈ P ∪ Q).
- Для любого x, если x ∉ A, то обе части формулы истинны (первое и второе слагаемое содержат x ∉ A). Значит, чтобы формула была истинна для всех x, достаточно проверить только случаи x ∈ A.
- Для x ∈ A обе дисъюнкты должны быть истинны, поэтому:
- x ∈ R
- x ∈ P ∪ Q
Итак, A должна быть подмножестом множества S = R ∩ (P ∪ Q).
Теперь подставим данные множеств:
- P = [257, 1000]
- Q = [5, 100]
- R = [99, 258]
P ∪ Q = [5,100] ∪ [257,1000]
R ∩ (P ∪ Q) = ([99,258] ∩ [5,100]) ∪ ([99,258] ∩ [257,1000])
= [99,100] ∪ [257,258]
Следовательно S = [99,100] ∪ [257,258].
Ключевой вывод:
- Чтобы формула тождественно истинна, необходимо и достаточно, чтобы A ⊆ S.
- Мы ищем минимальную длину отрезка A. В S существуют точки (например, 99, 100, 257, 258). Можно выбрать A как точку, например A = {99}, что соответствует длине 0.
- Таким образом, минимальная возможная длина A равна 0 ( degenerate отрезок, точка). Если же требовать непустой отрезок, минимальная положительная длина не достигается: можно подобрать любой очень маленький отрезок внутри [99,100] или [257,258], но строгой минимальной положительной длины не существует. В этом случае можно заметить, что максимальная допустимая длина не превышает 1 (например, A = [99,100] или A = [257,258] дают длину 1).
Ответ:
- Минимальная длина A при условии допуска degenerate отрезка: 0.
- При необходимости непустого A: допустимо любое значение в (0, 1], т.е. инфимума длины 0, но минимального положительного значения нет. Если нужно конкретное максимальное допустимое для непустого A — это 1 (например, A = [99,100] или [257,258]).
