На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Цель понять: определить минимальную длину отрезка A на числовой прямой так, чтобы формула была тождественно истинна. 1) Смысл логики - Обозначим неравенство как: (x ∉ A) ∨ (x ∈ R) и (x ∉ A) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q). - Это тождественно истинно для всех x тогда и только тогда, если для любых x ∈ A выполняются x ∈ R и x ∈ P ∪ Q. Иными словами, A должно быть подмножеством R ∩ (P ∪ Q). 2) Найдём R ∩ (P ∪ Q) - P = [257, 1000], Q = [5, 100], поэтому P ∪ Q = [5,100] ∪ [257,1000]. - R = [99, 258]. - Пересечение: - R ∩ [5,100] = [99,100] - R ∩ [257,1000] = [257,258] - Итого S = R ∩ (P ∪ Q) = [99,100] ∪ [257,258]. 3) Что можно выбрать в качестве A - Необходимо, чтобы A ⊆ S. То есть A целиком лежит в одном из двух маленьких интервалов [99,100] или [257,258], или в их объединении (но любые точки вне этих интервалов нарушат условие). - Минимальная длина отрезка A, который удовлетворяет этому, теоретически равна нулю, если допускается degenerate отрезок (отрезок с конечной точкой). Можно взять A как точку, принадлежащую S, например A = [99, 99]. 4) Ответ - Минимальная длина A: 0 (если допускаютсяdegenerate отрезки). - Пример подходящего A: A = [99, 99] (или A = [100, 100], или [257, 257], или [258, 258]). Примечание на случай требования непустого отрезка: если A должен быть с положительной длиной, то минимальная положительная длина не достигается (infimum равна 0); можно выбрать A любого очень маленького размера внутри одного из интервалов [99,100] или [257,258].