На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?
Дано: P = [257, 1000], Q = [5, 100], R = [99, 258]. Нужно выбрать отрезок A such that для любого x формула
((x ∉ A) ∨ (x ∈ R)) ∧ ((x ∉ A) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q))
тождественно истинна (равна 1).
Разбор
1) Логика. Формула тождественно истинна, если для любого x не нарушается условие:
- если x ∈ A, то должно выполняться x ∈ R и (x ∈ P or x ∈ Q);
- если x ∉ A, выражение в двух частях истинно по причине ¬(x ∈ A).
Следовательно,
A должно быть подмножеством R ∩ (P ∪ Q).
2) Найдём P ∪ Q и пересечение с R.
- P ∪ Q = [257, 1000] ∪ [5, 100].
- R ∩ P = [257, 258].
- R ∩ Q = [99, 100].
Поэтому
R ∩ (P ∪ Q) = [257, 258] ∪ [99, 100].
3) Вывод про A.
Любой отрезок A, полностью лежащий внутри R ∩ (P ∪ Q), удовлетворяет условию. То есть A может быть любым подотрезком внутри [99, 100] или внутри [257, 258] (или пустым/degenerate).
4) Найти минимальную длину.
Минимальная длина такого отрезка может быть нулевой: взять degenerate отрезок, например A = [99, 99] или A = [100, 100] (или внутри [257, 258]). Так как точка имеет длину 0.
Если же требовать непустой (неdegenerate) отрезок, минимального положительного размера не существует: можно сделать A очень маленьким внутри этих интервалов, но строго минимального положительного значения нет. Но инфимума длины равна 0.
Ответ
Наименьшая возможная длина A равна 0 (degenerate отрезок, например точка внутри [99,100] или внутри [257,258]).
