2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD

Задача: в правильной квадратной пирамиде SABCD все ребра равны 1 найти расстояние от середины ребра BC до плоскости SCD.

Решение (пошагово):

1. Введение координат

• Пусть основание ABCD — квадрат стороны 1 в плоскости z = 0 с центром в начале координат O(0,0,0).
• Вершины квадрата можно взять: A(-1/2, -1/2, 0), B(1/2, -1/2, 0), C(1/2, 1/2, 0), D(-1/2, 1/2, 0).
• Апекс S располагается над центром основания: S(0, 0, h).

2. Определение высоты h

• Все ребра равны 1, значит SA = SB = SC = SD = 1.
• Расстояние от S до точки A: SA^2 = AO^2 + h^2, где AO — расстояние от центра до вершины квадрата А, равное sqrt((1/2)^2 + (1/2)^2) = sqrt(1/2) = 1/√2.
• Тогда 1 = SA^2 = AO^2 + h^2 = 1/2 + h^2, следовательно h^2 = 1/2 и h = 1/√2.

3. Координаты середины BC

• B(1/2, -1/2, 0) и C(1/2, 1/2, 0).
• Медиана BC: M = ((1/2+1/2)/2, (-1/2+1/2)/2, 0) = (1/2, 0, 0).

4. Плоскость SCD и её нормаль

• Векторы на плоскости SCD: SC = C − S = (1/2, 1/2, −h), SD = D − S = (−1/2, 1/2, −h).
• Вектор-нормаль плоскости SCD дан через произведение SC × SD: SC × SD = (0, h, 1/2). (При подстановке h = 1/√2 получаем нормаль n = (0, 1/√2, 1/2).)
• Чтобы не зависеть от масштаба, удобнее работать с этой нормалью n = (0, h, 1/2).

5. Расстояние от точки до плоскости

• Правило: расстояние от точки P до плоскости с нормалью n и проходящей через S равно |n · (P − S)| / ||n||.
• Возьмём P = M и计算им P − S = M − S = (1/2, 0, −h).
• Скобками: n · (M − S) = (0, h, 1/2) · (1/2, 0, −h) = h·0 + (1/2)(−h) = −h/2.
• Абсолютное значение: |−h/2| = h/2.
• Норма вектора-нормали: ||n|| = sqrt(0^2 + h^2 + (1/2)^2) = sqrt(h^2 + 1/4) = sqrt(1/2 + 1/4) = sqrt(3/4) = √3/2.
• Следовательно, расстояние d = (h/2) / (√3/2) = h / √3.
• Подставляя h = 1/√2: d = (1/√2) / √3 = 1/√6.

6. Ответ

• Расстояние от середины ребра BC до плоскости SCD равно 1/√6 (примерно 0.4082).

Альтернативная запись того же результата: d = √6 / 6.