Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания углом 30°. Найди объём пирамиды, если её высота равна 12.

Задача предполагает правильную (правильную) четырёхугольную пирамиду: основание — квадрат, апекс над центром основания. Обозначим:

• h = высота пирамиды = 12
• OB = расстояние от центра основания O до вершины базы B (то есть горизонтальная часть диагонали стороны квадрата)
• L = длина бокового ребра AB (апекс A к вершине B)

1. Связь угла между боковым ребром и плоскостью основания с длинами в треугольнике AB–AO–BO

• Угол между боковым ребром AB и плоскостью основания равен углу между AB и его проекцией на основание, т.е. с отрезком OB.
• В треугольнике со сторонами AB = L, AO = h и OB, имеем прямой треугольник, где AB — гипотенуза: L^2 = h^2 + OB^2
• Также угол между AB и плоскостью основания удовлетворяет sin угла = противолежащий катет / гипотенуза = h / L.
• По условию угол равен 30°, значит sin 30° = h / L ⇒ 1/2 = 12 / L ⇒ L = 24.

2. Найдём OB

• OB^2 = L^2 − h^2 = 24^2 − 12^2 = 576 − 144 = 432
• OB = √432 = 12√3

3. Связь OB с размером основания

• Для квадрата расстояние от центра до вершины квадрата равно OB = a/√2, где a — сторона квадрата.
• Следовательно, a = OB · √2 = 12√3 · √2 = 12√6.

4. Площадь основания и объём пирамиды

• Площадь основания S = a^2 = (12√6)^2 = 144 · 6 = 864.
• Объём V пирамиды: V = (1/3) · S · h = (1/3) · 864 · 12 = 864 · 4 = 3456.

Ответ: объём пирамиды равен 3456 кубических единиц.