Прямые а и b пересекаются в точке О, А є а, В є b, Р є АВ. Докажите, что прямые 1. .D а и b и точка Р лежат в одной плоскости. 2. На данном рисунке плоскость а содержит точки А, В. С. Д. но не содержит точку М. Постройте точку К - точ-ку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости а? П уровень 1. Даны пересекающиеся плоскости В и а (рис. а, б). Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость В в точке А. Прямая в лежит в плоскости В и пересекает а в точке В. Докажите, что АВ - линия пе-ресечення плоскости с и В. - D C

Ниже по пунктам разбор заданий. 1) Пусть прямые a и b пересекаются в точке O. A ∈ a, B ∈ b, P ∈ AB. Докажите, что прямые a, b и точка P лежат в одной плоскости. - Через две пересекающиеся прямые a и b существует единственная плоскость Π, содержащая обе (плоскость, определяемая этими двумя линиями). - Так как A ∈ a ⊆ Π и B ∈ b ⊆ Π, вся прямая AB лежит в этой же плоскости Π. - Так как P ∈ AB, то и P ∈ Π. - Следовательно, прямые a, b и точка P лежат в одной плоскости (P ∈ Π). 2) На рисунке плоскость a содержит точки A, B, C, D, но не содержит точку M. Постройте точку K – точку пересечения прямой AB и плоскости MCD. Лежит ли точка K в плоскости a? - K определяется как AB ∩ плоскость(MCD). Если AB не параллельна плоскости MCD, то пересечение существует и K есть. - Прямая AB состоит полностью из точек плоскости a, так как A и B лежат в плоскости a, значит AB ⊆ a. - Любая точка, лежащая на AB, automatically лежит в плоскости a. Поэтому K ∈ AB ⊆ a. - Итак, при существовании пересечения K лежит в плоскости a. - Замечание: если AB параллельна плоскости MCD и не пересекается с ней, точка K не существует; в условии задачи предполагается существование пересечения. 3) Даны пересекающиеся плоскости α и β. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает β в точке A. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает α в точке B. Докажите, что AB — линия пересечения плоскости α и β. - Так как a лежит в α и пересекает β в A, то A ∈ α и A ∈ β, то есть A ∈ α ∩ β. - Аналогично, так как b лежит в β и пересекает α в B, то B ∈ α и B ∈ β, значит B ∈ α ∩ β. - Прямая AB проходит через две точки одного общего множества α ∩ β, поэтому AB целиком лежит в плоскости α и в плоскости β. - Таким образом AB является линией пересечения плоскостей α и β. Если хотите, могу привести краткие пояснения к соответствующим теоремам (существование плоскости через две пересекающиеся прямые, характеристика пересечения двух плоскостей как линейного множества и пр.).