Вот подробное решение задачи и указание теоретических основ, на которых оно базируется. Задача: в выпуклом четырехугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 6, BC = CD = 10, AD = 16, AC = 14. Доказать, что около этого четырехугольника можно описать окружность (то есть ABCD является циклическим).

Идея решения: показать, что сумма противоположных углов ABC и ADC равна 180°, что эквивалентно тому, что ABCD является циклическим четырехугольником. Это следует из теоремы: в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180° тогда и только тогда, когда вершины лежат на одной окружности. Шаги решения 1) Найдём угол ∠ABC по теореме косинусов в треугольнике ABC - Даны: AB = 6, BC = 10, AC = 14. - По формуле косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos∠ABC. - Подставим значения: 14^2 = 6^2 + 10^2 − 2·6·10·cos∠ABC. - 196 = 36 + 100 − 120 cos∠ABC. - 196 = 136 − 120 cos∠ABC ⇒ −120 cos∠ABC = 60 ⇒ cos∠ABC = −1/2. - Значит ∠ABC = 120°. 2) Найдём угол ∠ADC по теореме косинусов в треугольнике ADC - Даны: AD = 16, DC = 10, AC = 14. - По формуле косинусов: AC^2 = AD^2 + DC^2 − 2·AD·DC·cos∠ADC. - Подставим значения: 14^2 = 16^2 + 10^2 − 2·16·10·cos∠ADC. - 196 = 256 + 100 − 320 cos∠ADC. - 196 = 356 − 320 cos∠ADC ⇒ −320 cos∠ADC = −160 ⇒ cos∠ADC = 1/2. - Значит ∠ADC = 60°. 3) Сумма противоположных углов и вывод - ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°. - Так как в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, ABCD является циклическим (существует окружность, проходящая через все четыре вершины). Дополнительная проверка (необязательная) - По теореме Птолемея для циклического четырёхугольника: AC·BD = AB·CD + BC·AD. - Подставим данные: 14·BD = 6·10 + 10·16 = 60 + 160 = 220, отсюда BD = 220/14 = 110/7. - Это согласуется с полученной цикличностью (BD определяется однозначно на окружности через A,B,C). Итог На основе вычисления углов ∠ABC = 120° и ∠ADC = 60° видно, что они supplementary (сумма 180°). Следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности, то есть ABCD является циклическим четырехугольником.