Вот подробное решение задачи и указание теоретических основ, на которых оно базируется. Задача: в выпуклом четырехугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 6, BC = CD =…

Идея решения: показать, что сумма противоположных углов ABC и ADC равна 180°, что эквивалентно тому, что ABCD является циклическим четырехугольником. Это следует из теоремы: в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180° тогда и только тогда, когда вершины лежат на одной окружности.

Шаги решения

1. Найдём угол ∠ABC по теореме косинусов в треугольнике ABC

• Даны: AB = 6, BC = 10, AC = 14.
• По формуле косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos∠ABC.
• Подставим значения: 14^2 = 6^2 + 10^2 − 2·6·10·cos∠ABC.
• 196 = 36 + 100 − 120 cos∠ABC.
• 196 = 136 − 120 cos∠ABC ⇒ −120 cos∠ABC = 60 ⇒ cos∠ABC = −1/2.
• Значит ∠ABC = 120°.

2. Найдём угол ∠ADC по теореме косинусов в треугольнике ADC

• Даны: AD = 16, DC = 10, AC = 14.
• По формуле косинусов: AC^2 = AD^2 + DC^2 − 2·AD·DC·cos∠ADC.
• Подставим значения: 14^2 = 16^2 + 10^2 − 2·16·10·cos∠ADC.
• 196 = 256 + 100 − 320 cos∠ADC.
• 196 = 356 − 320 cos∠ADC ⇒ −320 cos∠ADC = −160 ⇒ cos∠ADC = 1/2.
• Значит ∠ADC = 60°.

3. Сумма противоположных углов и вывод

• ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.
• Так как в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, ABCD является циклическим (существует окружность, проходящая через все четыре вершины).

Дополнительная проверка (необязательная)

• По теореме Птолемея для циклического четырёхугольника: AC·BD = AB·CD + BC·AD.
• Подставим данные: 14·BD = 6·10 + 10·16 = 60 + 160 = 220, отсюда BD = 220/14 = 110/7.
• Это согласуется с полученной цикличностью (BD определяется однозначно на окружности через A,B,C).

Итог На основе вычисления углов ∠ABC = 120° и ∠ADC = 60° видно, что они supplementary (сумма 180°). Следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности, то есть ABCD является циклическим четырехугольником.